無零因子環

在抽象代數中，無零因子環（domain）指的是一類不是Template:Link-en的環，在其中若$ab=0$，則必有$a=0$或$b=0$，有時又稱這樣的環具有「Template:Link-en」；等價地說，無零因子環就是一個在其中0是唯一的左零因子（或等價地，右零因子）的環。

例子和非例子

• $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$不是無零因子環，而這是因為在這個環中的2跟3的像不是0，但其乘積是0；更一般地，對於任意的正整數$n$而言，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$這類的環是無零因子環，當且僅當$n$是質數。
• 根據韋德伯恩小定理，有限無零因子環必然是有限域。
• 四元數構成一個非交換的無零因子環；更一般地，任何的除環都是無零因子環，而這是因為在除環中，任何不是零的元素都可逆之故。
• 所有的Template:Link-en構成的環是一個非交換的無零因子環；而Lipschitz四元數指的是形如$a+bi+cj+dk$，且$a$、$b$、$c$、$d$皆為整數的四元數。
• 類似地，所有的Template:Link-en構成的環是一個非交換的無零因子環；而赫維茲四元數指的是形如$a+bi+cj+dk$，且$a$、$b$、$c$、$d$皆為整數或半整數的四元數。
• 矩陣環$M_n(R)$在$n\ge 2$時不會是無零因子環：在$R$非零時，這樣的矩陣環會有非零的零因子，甚至是0以外的冪零元。像例如說，矩陣單元$E_{12}$的平方為零。
• 向量空間的張量代數，或等價地，一個域上的非交換變數的多項式的代數$𝕂⟨x_1,\dots ,x_n⟩,$，是一個無零因子環。這點可藉由非交換單項式的Template:Link-en來證明。
• 若$R$是一個無零因子環，且$S$是$R$的Template:Link-en，那$S$也是無零因子環。
• Template:Link-en是非交換的無零因子環。
• 任何域上的李代數的泛包絡代數都是無零因子環。這點可由泛包絡代數上的標準Template:Link-en和Template:Link-en證明。

群環和零因子問題

設$G$為群而$K$為域，那一個問題是群環$R=K[G]$是否是無零因子環？考慮下述等式：

$(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^n,$

這等式顯示，階為Template:Nowrap且有限的元素$g$會在$R$中導出一個零因子。零因子問題問的是，這是否是唯一的阻礙。換句話說，

給定一個域$K$和一個無扭化群$G$，則群環$R=K[G]$是否是一個無零因子環？

目前尚無反例，但Template:As of為止，這問題依舊未解決。

對於許多特定種類的群，這答案是肯定的。Farkas和Snider在1976年證明說如果$G$是一個無扭化的有限擴張多循環群，且Template:Nowrap，那群環$R=K[G]$就是一個無零因子環。之後Cliff在1980年移除了域特徵的條件；此外在1988年，Kropholler、Linnell和Moody將這類結果給推廣到無扭化可解群及有限擴張可解群之上。而更早以前的Template:Link-en在1965年做出、但其重要性被相關領域專家忽視將近二十年研究所處理的是$K$是P進整數環而$G$是$GL(n,Z)$的Template:Link-en的情況。

整環的譜

零因子有拓樸學上的解釋，至少在交換環的情形下是如此：$R$是一個整環，當且僅當$R$是Template:Link-en且其譜$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}$ $R$是一個Template:Link-en。這其中第一個性質被認為包含了無窮小的訊息，而第二個性質則是更為幾何的。

一個例子如次：在$k$是一個域的狀況下，$k[x,y]/(xy)$這個環不是無零因子環，而這是因為在這個環中，$x$和$y$的像是零因子之故。在幾何上，這對應到這個環作為$x=0$和$y=0$這兩條線的聯集的譜不可約的事實。事實上這兩條線是其不可約的成分。

參見

• 零因子
• Template:Link-en
• Template:Link-en
• 整環

參考資料

• Template:Cite book
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