環的譜

Template:NoteTA 在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環$A$的譜是指其素理想全體形成的集合，記作$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。

扎里斯基拓撲

Template:Main 對於交換環 $A$ 裡的任一理想 $𝔞$，置 $V(𝔞):=\{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A):𝔭\supset 𝔞\}$。容易證明下述性質：

• $V(𝔞𝔟)=V(𝔞)\cup V(𝔟)$
• $V(\sum _i{𝔞}_i)=\bigcap _{i}V({𝔞}_i)$
• $V(𝔞)\subset V(𝔟)$若且唯若$\sqrt{𝔞}\supset \sqrt{𝔟}$

因此我們可以在$Spec(A)$上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如$V(𝔞)$的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

結構層

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層：

${𝒪}_{0,A}:U\mapsto \underset{𝔭\in U}{\underleftarrow{\lim }}{A}_{𝔭}$

令${𝒪}_A$為其層化，稱作$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$的結構層。顯然有${𝒪}_{A,𝔭}=A_{𝔭}$，故$(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A),𝒪)$構成一個局部賦環空間。

一個元素$a\in A$給出${𝒪}_A$的截面，事實上可以證明$\mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A),{𝒪}_A)=A$。

交換環譜間的態射

設$A,B$為交換環，$\varphi :A\to B$為一同態，則可定義一個映射$f(𝔭)={\varphi }^{-1}(𝔭)$，這是從$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$到$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$的連續映射，在結構層上則以$a\mapsto \varphi (b)$定義$f^{\mathrm{♯}}:{𝒪}_A\to f_{*}{𝒪}_B$，那麼$(f,f^{\mathrm{♯}})$給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點

令$k$為代數封閉域，給定$f_i\in k[X_1,\dots ,X_n]$（i=1,2,...），則方程組$f_i(x_1,\dots ,x_n)=0$定義一個代數簇$X\subset {𝔸}_k^n$。

設$𝔞:=(f_1,\dots ,f_n)\subset k[X_1,\dots ,X_n]$，$A:=\mathrm{k}\mathrm{[}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}},\mathrm{\dots },{\mathrm{X}}_{\mathrm{n}}\mathrm{]}/𝔞$。根據希爾伯特零點定理，$X$的點一一對應到$A$的極大理想。

一般而言，$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$內的元素一一對應到$X$內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點（generic point）理論；此外，環同態不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環是 Jacobson 環。

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)$的拓撲結構僅涉及$\sqrt{𝔞}$。$A$裡的冪零元素看似無幾何意義，但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見

• 《代數幾何基礎》