环 (代数)

Template:No footnotes Template:環論 Template:Algebraic structures 環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。關於乘法無單位元的環，請見偽環一文。

定義

給定一個集合 $R$ 以及兩個定義在 $R$ 上的二元運算 $+$ 和 $\times$ Template:NoteTag。如果 $R$ 、 $+$ 和 $\times$ 具有以下八個性質Template:NoteTag，則稱 $(R,+,\times )$ Template:NoteTag構成了一個環。

1. $(R,+)$ 是一個交換群：
   • 加法有結合律——對所有的 $a,b,c\in R$ ，都有：$$(a+b)+c=a+(b+c)$$
   • 加法有交換律——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：$$a+b=b+a$$
   • 有加法單位元——存在某個Template:NoteTag $0_R\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有： $$0_R+r=r$$
   • 有加法反元素——對所有的 $r\in R$ ，存在某個Template:NoteTag $-r\in R$ ，使得： $$-r+r=0$$
2. $(R,\times )$ 是一個有單位元的半群：
   • 乘法有結合律——對所有的 $a,b,c\in R$ ，都有： $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$
   • 有乘法單位元——存在某個Template:NoteTag $1_R\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有：$$1_R\times r=r\times 1_R=r$$
3. 乘法對於加法滿足分配律：
   • （左）分配律——對所有的 $a,b,c\in R$ ，都有：$$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$$
   • （右）分配律——對所有的 $a,b,c\in R$ ，都有：$$(a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)$$

環的乘法經常依照慣例Template:NoteTag，不會寫出「 $\times$ 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：$$a(b+c)=ab+ac$$此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

定義的分歧

環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、Template:Link-en、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng Template:NoteTag或偽環（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

例子

• 整數 $\mathbb{Z}$ 、有理數 $\mathbb{Q}$ 、實數 $ℝ$ 和複數 $ℂ$ ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 $0$ ，乘法單位元是 $1$ ，是最典型的實際例子。
• 整係數多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ 、有理係數多項式環 $\mathbb{Q}[x]$ ，實係數多項式環 $ℝ[x]$ 、複係數多項式環 $ℂ[x]$ ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 $0$ ，乘法單位元也是 $1$ 。更一般地，可以考慮任何環 $R$ 的多項式環 $R[x]$ 。
• 整係數有理函數 $\mathbb{Z}(x)$ 、有理係數有理函數 $\mathbb{Q}(x)$ ，實係數有理函數 $ℝ(x)$ 、複係數有理函數 $ℂ(x)$ ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 $0$ ，乘法單位元依然是 $1$ 。更一般地，可以考慮任何環 $R$ 的有理函數環 $R(x)$ ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
• 大小為 $n\times n$ 的整係數矩陣 ${𝐌}_n(\mathbb{Z})$ 、有理係數矩陣 ${𝐌}_n(\mathbb{Q})$ 、實係數矩陣 ${𝐌}_n(ℝ)$ 、或複係數矩陣 ${𝐌}_n(ℂ)$，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ：$${\mathrm{𝟎}}_n:={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]}_{n\times n}$$乘法單位元則是單位矩陣 ：$${\mathrm{I}}_n:={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$$同樣的，可以考慮任何環 $R$ 的矩陣環 ${𝐌}_n(R)$ 。矩陣環也是典型的非交換環。
• 如果集合 $R$ 只有一個元素，那 $R$ 只可能定義出唯一的一種環結構——Template:Link-enTemplate:NoteTag（ Zero ring ）。

基本性質

• 零元素是唯一的
• 零乘以Template:NoteTag任何東西都是零
• 乘法單位元是唯一的
• 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
• 多個環元素的分配律：$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^m{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j$$
• 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：$$na:=\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{a+a+\cdots a}}(-n)a:=\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots (-a)}}0a:=0_R$$這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
  • $n(ab)=(na)b=a(nb)$
  • $(nm)a=n(ma)=m(na)$
  • $n(a+b)=na+nb$
  • $(n+m)a=na+ma$

而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以Template:NoteTag定義冪運算：$$a^n:=\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{a\times a\times \cdots a}}{a}^{-n}:=\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}}}{a}^0:=1_R$$

• 二項式展開——如果 $ab=ba$ ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：$$(a+b{)}^n=a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a^{n-2}{b}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})a^2{b}^{n-2}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a{b}^{n-1}+b^n=\sum _{i+j=n}\frac{n!}{(i!)(j!)}{a}^i{b}^j$$這可以推廣到多個元素 $a_1,a_2,\dots ,a_m$ 總和的次方——如果任兩個元素的 $a_i$ 和 $a_j$ 的乘法都可以交換（即 $a_i{a}_j=a_j{a}_i$ ），那麼：$$(a_1+a_2+\cdots +a_m{)}^n=\sum _{i_1+i_2+\cdots +i_m=n}\frac{n!}{(i_1!)(i_2!)\cdots (i_n!)}{a}_1^{i_1}{a}_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m}$$

基本的相關概念

特殊的環元素

在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環Template:NoteTag中都有定義，它們是經常被討論的對象：

• 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。
• 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
• 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。
• 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

環同態、核、像

Template:Main 在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 $R$ 送往環 $S$ 的環同態（ Ring homomorphism ）$f:R\to S$ 簡單來說是一種「維持環結構Template:NoteTag」的映射；而具體來說，$f$ 要具有以下三個性質：

• 維持加法的結構——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：$$f(a+b)=f(a)+f(b)$$
• 維持乘法的結構——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：$$f(ab)=f(a)(b)$$
• 維持單位元的結構——也就是：$$f(1_R)=1_S$$

對一個環同態 $f$ 來說，有以下兩個密切相關的概念：

• 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f):=f^{-1}(0_S)=\{a\in R\mid f(a)=0_S\}\subseteq R$$
• 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果：$$\mathrm{I}\mathrm{m}(f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S$$

子環、（雙邊）理想、商環

Template:Main 給定一個環 $R$ ，我們可以考慮它的：

• 子環（ Subring ）——某個送往 $R$ 的環同態在$R$ 內的像。Template:NoteTag

• 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在$R$ 上的環同態的核。
• 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在$R$ 上的環同態的像。Template:NoteTag

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

具有額外性質的環

交換環（ commutative ring ）

如果一個環 $R$ 還額外滿足：

乘法的交換律：對於所有 $a,b\in R$：

$$a\times b=b\times a$$

則稱 $R$ 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

• 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。
• 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。
• 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。
• 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。
• 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
• 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式Template:NoteTag都有根的體。

非交換環

所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

• 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
• 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

從已知的環建構出其他環的方式

直積

給定數個環 $R_1,R_2,\dots ,R_n$ ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：

$$\prod _{i=1}^n{R}_i:=R_1\times R_2\times \cdots \times R_n=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid a_1\in R_1,a_2\in R_2,\dots ,a_n\in R_n\}$$可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

$$(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n):=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)$$$$(a_1,a_2,\dots ,a_n)\times (b_1,b_2,\dots ,b_n):=(a_1\times b_1,a_2\times b_2,\dots ,a_n\times b_n)$$這使得$\prod _{i=1}^n{R}_i$構成一個環。稱為 $R_1,R_2,\dots ,R_n$ 的直積（ Direct product ）；它的法單位元是 $(0_{R_1},0_{R_2},\dots ,0_{R_n})$ 乘法單位元是 $(1_{R_1},1_{R_2},\dots ,1_{R_n})$

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

多項式環

Template:Main 給定一個環 $R$ ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：$$R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\right|a_i\in R,n=1,2,3,\dots \}$$可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：$$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\right)+\left(\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i\right):=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)x^i$$$$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\right)\times \left(\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^i{a}_j{b}_{i-j}\right)x^i$$在這樣的運算規則下， $R[x]$ 被稱為是 $R$ 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 $R$ 相同。

矩陣環

Template:Main給定一個環 $R$ ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 $n\times n$ 的矩陣：

$${𝐌}_n(R):=\left\{{\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}\right|a_{i,j}\in R,i,j=1,2,\dots ,n\}$$同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

$${\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}+{\left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots & b_{1,n}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& \dots & b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n,1}& b_{n,2}& \dots & b_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}:={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}+b_{1,1}& a_{1,2}+b_{1,2}& \dots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1}& a_{2,2}+b_{2,2}& \dots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}+b_{n,1}& a_{n,2}+b_{n,2}& \dots & a_{n,n}+b_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}$$$${\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}\times {\left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots & b_{1,n}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& \dots & b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n,1}& b_{n,2}& \dots & b_{n,n}\end{array}\right]}_{n\times n}:={\left[\begin{array}{cccc}\sum _{i=1}^n{a}_{1,i}{b}_{i,1}& \sum _{i=1}^n{a}_{1,i}{b}_{i,2}& \dots & \sum _{i=1}^n{a}_{1,i}{b}_{i,n}\\ \sum _{i=1}^n{a}_{2,i}{b}_{i,1}& \sum _{i=1}^n{a}_{2,i}{b}_{i,2}& \dots & \sum _{i=1}^n{a}_{2,i}{b}_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum _{i=1}^n{a}_{n,i}{b}_{i,1}& \sum _{i=1}^n{a}_{n,i}{b}_{i,2}& \dots & \sum _{i=1}^n{a}_{n,i}{b}_{i,n}\end{array}\right]}_{n\times n}$$那麼 ${𝐌}_n(R)$ 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：$${\mathrm{𝟎}}_n:={\left[\begin{array}{cccc}{0}_R& 0_R& \dots & 0_R\\ 0_R& 0_R& \dots & 0_R\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0_R& 0_R& \dots & 0_R\end{array}\right]}_{n\times n}$$乘法單位元則是單位矩陣 ：$${\mathrm{I}}_n:={\left[\begin{array}{cccc}{1}_R& 0_R& \dots & 0_R\\ 0_R& 1_R& \dots & 0_R\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0_R& 0_R& \dots & 1_R\end{array}\right]}_{n\times n}$$同樣的，可以考慮任何環 $R$ 的矩陣環 ${𝐌}_n(R)$ 。矩陣環也是典型的非交換環。

局部化與分式體

Template:Main局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

交換環與代數幾何的關係

交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 $𝐂𝐑𝐢𝐧𝐠$ 和仿射概形範疇 $𝐀𝐟𝐟𝐒𝐜𝐡$ 有著如下對偶性：

$${𝐂𝐑𝐢𝐧𝐠}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\cong 𝐀𝐟𝐟𝐒𝐜𝐡$$

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

參見

• 模
• 理想
• 代數
• 偽環

參考文獻

• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite book

要求「環」要有乘法單位元的教科書

• Template:Cite book

• Template:Cite book
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不要求「環」要有乘法單位元的教科書

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外部連結

• Database of Ring Theory Template:Wayback 一個紀錄了大量環的性質的資料庫
• 《數學百科全書》對環的定義 Template:Wayback
• MathWorld 對環的定義 Template:Wayback
• Template:Link-en 對環的定義 Template:Wayback