林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家Template:Link-en提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。^[1]這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下：

對於任意的 $ε > 0$ 而言，在 $t$ 趨近於無窮時，有 $ζ (\frac{1}{2} + i t) = O (t^{ε})$

由於 $ε$ 可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下：

對於任意的 $ε > 0$ 而言，有 $ζ (\frac{1}{2} + i t) = o (t^{ε})$

μ函數

設 $σ$ 是一個實數，則可定義 $μ (σ)$ 為所有使得 $ζ (σ + i T) = O (T^{a})$ 的實數 $a$ 當中的最小數。在這種定義下，易見對於任意的 $σ > 1$ ，有 $μ (σ) = 0$ ，而從黎曼ζ函數的函數方程可導出說 $μ (σ) = μ (1 - σ) - σ + \frac{1}{2}$ 。另一方面，由Template:Link-en可導出說 $μ$ 是一個凸函數。林德勒夫猜想基本就是說， $μ (\frac{1}{2}) = 0$ ，將此點和上述的性質結合，這猜想也意味著說在 $σ \geq \frac{1}{2}$ 時， $μ (σ) = 0$ ；而在 $σ \leq \frac{1}{2}$ 時， $μ (σ) = \frac{1}{2} - σ$

由於 $μ (1) = 0$ 且 $μ (0) = \frac{1}{2}$ ，因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說 $0 \leq μ (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ 。之後G·H·哈代藉由將外爾估計Template:Link-en的方式用於近似函數方程的做法，將這上界降至 $\frac{1}{6}$ 。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明，將之降到稍微低於 $\frac{1}{6}$ 的數值。下表顯示了對於這數值的改進：

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	研究者
1/4	0.25	Lindelöf^[2]	凸性上界
1/6	0.1667	Hardy & Littlewood^[3]^[4]
163/988	0.1650	Walfisz 1924^[5]
27/164	0.1647	Titchmarsh 1932^[6]
229/1392	0.164512	Phillips 1933^[7]
	0.164511	Rankin 1955^[8]
19/116	0.1638	Titchmarsh 1942^[9]
15/92	0.1631	Min 1949^[10]
6/37	0.16217	Haneke 1962^[11]
173/1067	0.16214	Kolesnik 1973^[12]
35/216	0.16204	Kolesnik 1982^[13]
139/858	0.16201	Kolesnik 1985^[14]
9/56	0.1608	Bombieri & Iwaniec 1986^[15]
32/205	0.1561	Huxley^[16]
53/342	0.1550	Bourgain^[17]
13/84	0.1548	Bourgain^[18]

和黎曼猜想間的關係

Backlund^[19]在1918至1919年間，證明了說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點相關的敘述等價：在 $T$ 趨近於無窮時，實部至少為 $\frac{1}{2} + ε$ 且虛部介於 $T$ 和 $T + 1$ 之間的零點，其數量會趨近於 $o (\log T)$ 。

由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故，因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部介於 $T$ 和 $T + 1$ 之間的零點的數量為 $O (\log T)$ ，因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果，但盡管如此，人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。

黎曼ζ函數的冪的平均值

林德勒夫猜想與以下陳述等價：

對於任意的正整數 $k$ 和正實數 $ε$ 而言，有以下等式：

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} | ζ (1 / 2 + i t) |^{2 k} d t = O (T^{ε})

目前已證明這等式對 $k = 1$ 及 $k = 2$ 成立，但 $k = 3$ 的情況似乎困難許多，且依舊是個未解決的問題。

對於這積分的非病態行為，有著下列更加精確的猜想：

一般認為，對某些常數 $c_{k, j}$ 而言，有以下等式：

\int_{0}^{T} | ζ (1 / 2 + i t) |^{2 k} d t = T \sum_{j = 0}^{k^{2}} c_{k, j} \log (T)^{k^{2} - j} + o (T)

李特爾伍德證明了 $k = 1$ 的情況，而希斯-布朗^[20]藉由推廣英厄姆（Ingham）找到首項係數的結果^[21]，證明了 $k = 2$ 的情況。

Conrey和Ghosh^[22]推測，在 $k = 6$ 時首項係數應當為

\frac{42}{9!} \prod_{p} ((1 - p^{- 1})^{4} (1 + 4 p^{- 1} + p^{- 2}))

而Keating和Snaith^[23]利用隨機矩陣理論，對 $k$ 更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數的某種乘積，和由下列數列給出的 $n \times n$ 楊表的數字彼此間的乘積：

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... Template:OEIS

其他後果

設 $p_{n}$ 為第 $n$ 個質數，並設 $g_{n} = p_{n + 1} - p_{n} .$ 為質數間隙，則一個由Template:Link-en證明的結果顯示，若林德勒夫猜想成立，則對於任意的 $ε > 0$ 而言，當 $n$ Template:Link-en時，有以下不等式：

g_{n} ≪ p_{n}^{1 / 2 + ε}

對於質數間隙，一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想，其陳述如下：^[24]^[25]

g_{n} = O ((\log p_{n})^{2}) .

密度假說

已知的無零點區域，略合於此張圖的右下角；而若黎曼猜想得證，就會將整張圖給壓縮到x軸上，也就是 $A_{R H} (σ > 1 / 2) = 0$ 。在另一邊，此圖中的上界 $A_{D H} (1 - σ) = 2 (1 - 1 / 2) = 1$ 與從Template:Link-en得出的顯著上界相合。（也有其他各式各樣的估計^[26]）

密度假說指稱 $N (σ, T) \leq N^{2 (1 - σ) + ε}$ ，其中 $N (σ, T)$ 是 $ζ (s)$ 的零點 $ρ$ 在 $ℜ (s) \geq σ$ 以及 $| ℑ (s) | \leq T$ 所構成的範圍內的數量，且這假說可由林德勒夫猜想得出。^[27]^[28]

更一般地，設 $N (σ, T) \leq N^{A (σ) (1 - σ) + ε}$ ，則已知這界限大致和長度為 $x^{1 - 1 / A (σ)}$ 的短區間當中的質數的漸進公式相合。^[29]^[30]

Template:Link-en在1940年證明說 $A_{I} (σ) = \frac{3}{2 - σ}$ ，^[31]Template:Link-en在1971年證明說 $A_{H} (σ) = \frac{3}{3 σ - 1}$ ；^[32] 而Template:Link-en及梅納德在2024年的一篇預印本中證明說 $A_{G M} (σ) = \frac{15}{5 σ + 3}$ ^[33]^[34]^[35]並證明說這些公式和 $σ_{I, G M} = 7 / 10 < σ_{H, G M} = 8 / 10 < σ_{I, H} = 3 / 4$ 相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近 $σ = 1 / 2$ 、符合一般對黎曼猜想期望的數值，並將其界限改進至 $N (σ, T) \leq N^{\frac{30}{13} (1 - σ) + ε}$ ，或等價地，非病態地和 $x^{17 / 30}$ 成比例。

在理論上，貝克、Template:Link-en和Template:Link-hu三氏對勒讓德猜想的估計的改進、對沒有西格爾零點的區域的估計，以及其他的事情也是可期待的。

L函數

黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數的一類更加一般的函數。

在2010年，Template:Link-en及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）給出了估計定義在 $P G L (2)$ 之上的L函數的次凸性值的方法；^[36]同一年，阿克沙伊·文卡泰什及Template:Link-en給出了估計定義在 $G L (1)$ 和 $G L (2)$ 之上的L函數的次凸性值的方法；^[37]而在2021年，保羅·尼爾森（Paul Nelson）估計定義在 $G L (n)$ 之上的L函數的值的方法。^[38]^[39]

參見

Template:Link-en中的林德勒夫猜想

註解和參考資料

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[1] 參見Template:Harvtxt

[2] Template:Harvtxt

[Hardy_&_Littlewood_1923_pp._403–412-3] Template:Cite journal

[Hardy_Littlewood_1916_pp._119–196-4] Template:Cite journal

[Walfisz_1924_pp._115-143-5] Template:Cite journal

[Titchmarsh_1932_pp._133–141-6] Template:Cite journal

[Phillips_1933_pp._209–225-7] Template:Cite journal

[Rankin_1955_pp._147–153-8] Template:Cite journal

[Titchmarsh_1942_pp._11–17-9] Template:Cite journal

[Min_1949_pp._448–472-10] Template:Cite journal

[Haneke_1963_pp._357–430-11] Template:Cite journal

[Kolesnik_1973_pp._7-30-12] Template:Cite journal

[Kolesnik_1982_pp._107–122-13] Template:Cite journal

[Kolesnik_1985_pp._115-143-14] Template:Cite journal

[15] Template:Cite journal

[16] Template:Harvtxt, Template:Harvtxt

[17] Template:Harvtxt

[18] Template:Harvtxt

[19] Template:Harvtxt

[20] Template:Harvtxt

[21] Template:Harvtxt

[22] Template:Harvtxt

[23] Template:Harvtxt

[Cramér1936-24] Template:Cite journal

[Banks_Ford_Tao_2023_pp._1471–1518-25] Template:Cite journal

[26] Template:Cite arXiv

[27] Template:Cite web

[28] Template:Cite web

[29] Template:Cite web

[30] Template:Cite web

[31] Template:Cite journal

[32] Template:Cite journal

[33] Template:Cite arXiv

[34] Template:Cite web

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[SubconvexityGL2-37] Template:Cite journal

[38] Template:Cite arXiv

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林德勒夫猜想

目录

μ函數

和黎曼猜想間的關係

黎曼ζ函數的冪的平均值

其他後果

密度假說

L函數

參見

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