克拉梅爾猜想

Template:NoteTA Template:Side box 數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n{)}^2}=1$，

這裡$p_n$代表第$n$個素数。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

$p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$。

目前這方面最好的無條件結果是

$p_{n+1}-p_n=O(p_n^{0.525})$

而這點由R·C·贝克（R. C. Baker）、Template:Link-en和Template:Link-hu三人證出。

另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\mathrm{\infty }.$

Template:Link-en改進了他的結果，並證明道

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}\cdot \frac{{(\log \log \log p_n)}^2}{\log \log p_n\log \log \log \log p_n}>0$

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由Template:Link-en、Template:Link-en、Template:Link-en和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將該結果以$\log \log \log p_n$因子進行改進。

探索性論證

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的Template:Link-en之上的，在其中一個大小為Template:Mvar的數是質數的機率是$1/\log x$。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{{\log }^2{p}_n}=1$

然而，Template:Link-en指出，根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向$c\ge 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\dots$（Template:OEIS2C），其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亚诺什則認為該比值的上極限可能發散至無限；

類似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）寫道：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數$c>2$而言，總存在一個常數，使得$x$和$x+d(\log x{)}^c$有一個質數。」

類似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）寫道：

「事實上，由於格兰维尔的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」

相關猜想和探索

質數間隙函數

Template:Link-en猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立： $G(x)\sim {\log }^{2}x$

J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）則提出下列何質數間隙有關的公式： $G(x)\sim {\log }^{2}x-\log x\log \log x$ 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數$\pi (x)$表示的狀況下，最大質數間隙$G(x)$如下：

$G(x)\sim \frac{x}{\pi (x)}(2\log \pi (x)-\log x+c),$

其中$c=\log (C_2)=0.2778769...$和$C_2=1.3203236...$是孿生質數常數的兩倍，可見Template:OEIS2C和Template:OEIS2C的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

$G(x)\sim {\log }^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.$

Template:Link-de（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

$R=\frac{\log p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}$

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，$R$的值都維持在1.13左右」。

參見

• 質數定理
• 勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
• 菲鲁兹巴赫特猜想
• 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料

• Template:Cite book
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外部連結

• Template:Mathworld
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