黎曼-西格尔公式

在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。Template:Harvtxt在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。

如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}}+R(s)$

其中

$\gamma (s)={\pi }^{\frac{1}{2}-s}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1-s))}$

是函数方程Template:Math中出现的因数，且

$R(s)=\frac{-\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x{)}^{s-1}{e}^{-Nx}}{e^x-1}dx$

是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点Template:Math圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。Template:Harvtxt和Template:Harvtxt通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为Template:Math。Template:Harvtxt发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。

黎曼积分公式

黎曼证明了

$\underset{0\searrow 1}{\int }\frac{e^{-i\pi u^2+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}du=\frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}$

积分围道是一条斜率为-1的线，通过0和1之间Template:Harv。

他用此给出了以下ζ函数的积分公式：

${\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\underset{0\swarrow 1}{\int }\frac{x^{-s}{e}^{\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx+{\pi }^{-\frac{1-s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\underset{0\searrow 1}{\int }\frac{x^{s-1}{e}^{-\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx$

参考

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• Template:Citation Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

外部链接

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