随机矩阵

Template:Not 在概率論和數學物理中，隨機矩陣（Template:Lang-en）是一個矩陣值的随机变量，也就是说，一个矩阵中的所有元素都是随机变量。

應用

物理

• 原子核物理学，量子場論
• 量子混沌（quantum chaos）Bohigas–Giannoni–Schmit（BGS）猜想
• 量子光學
• 楊-米爾斯理論（量子色動力學）
• 兩維的量子引力，AdS/CFT对偶，
• 介观物理学,
• 自旋转移矩,
• 小数量子霍爾效果,
• 安德森的本地化（Anderson localization）
• 量子点,
• 超导現象

其他（AI、数学、统计）

• 数论，黎曼ζ函數和其他L函数的零分布，希尔伯特–波利亚猜想，黎曼猜想
• 多元变量统计
• 數值分析
• 最优控制
• 神经科学理论，混沌理论
• 人工智能，机器学习，深度学习，深度神经网络

随机矩阵模型

设$H$是$N\times N$的矩阵，有下面的概率测度：

$P(H)=\frac{1}{Z}{e}^{-Ntr(V(H))}$

例子，高斯模型：$V(H)=H^2/2$。

• GUE (Gaussian Unitary Ensemble)：H是埃尔米特矩阵。通过1/N展开，維格納半圓分布描述H的大N特征值的機率密度函數$\rho (E)$。
• GOE (Orthogonal)：H是对称矩阵
• GSE (Symplectic)：H是四元数的矩阵（Quaternion matrix）

參見

• 維格納半圓分布
• 弗里曼·戴森气体模型（Dyson gas model）
• 1/N展开
• 普遍性 (物理学)（Universality）
• Spectral Theory
• 非古典机率（Free probability）

阅读

• 陶哲轩的Topics in random matrix theory (-{R|https://terrytao.files.wordpress.com/2011/02/matrix-book.pdf}- Template:Wayback)
• 其他书：
• 文章：
• 原始文章：
• Voiculescu, Free Probability Theory and Operator Algebras
• Speicher, Free Probability Theory (-{R|https://arxiv.org/pdf/0911.0087.pdf}- Template:Wayback)
• 徐一鴻的-{R|https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Field_Theory_in_a_Nutshell}- Template:Wayback (Large N expansion)