函数方程

Template:Unreferenced 函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。

例子

ζ (s) = 2^{s} π^{s - 1} \sin (\frac{π s}{2}) Γ (1 - s) ζ (1 - s)

Γ (x) = \frac{Γ (x + 1)}{x}

Γ (z) Γ (1 - z) = \frac{π}{\sin (π z)}

f (x + y) = f (x) f (y),

的解是所有指数函数。

f (x y) = f (x) + f (y)

的解是所有对数函数。

f (x + y) = f (x) + f (y)

F (a z) = a F (z) (1 - (z))

(庞加莱方程)

f ((x + y) / 2) = (f (x) + f (y)) / 2

(琴生)

g (x + y) + g (x - y) = 2 g (x) g (y)

(达朗贝尔)

f (h (x)) = f (x) + 1

函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程 $f (x + y)^{2} = f (x)^{2} + f (y)^{2}$ 。

设 $x = y = 0$ ： $f (0)^{2} = f (0)^{2} + f (0)^{2}$ 。所以 $f (0)^{2} = 0$ ， $f (0) = 0$ 。

现在，设 $y = - x$ ：

f (x - x)^{2} = f (x)^{2} + f (- x)^{2}

f (0)^{2} = f (x)^{2} + f (- x)^{2}

0 = f (x)^{2} + f (- x)^{2}

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x， $f (x)^{2} = 0$ ，所以 $f (x) = 0$ 是唯一的解。