线性微分方程

Template:微積分學 线性微分方程（Template:Lang-en）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

$ℒ(y)=f\dots (*)$

其中方程左侧的微分算子$ℒ$是线性算子，Template:Mvar是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果Template:Mvar(Template:Mvar) Template:Math 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当Template:Mvar不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

简介

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

$ℒ(y)=f\dots (*)$

其中的$ℒ$是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数$y_1$和$y_2$以及两个常数${\lambda }_1$和${\lambda }_2$，那么：

$ℒ({\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2)={\lambda }_1ℒ(y_1)+{\lambda }_2ℒ(y_2).$

如果Template:Mvar是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：$y_1,y_2,\cdots ,y_m$以及同样多的常数系数：${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$，线性组合${\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2+\cdots +{\lambda }_m{y}_m$仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间Template:Mvar，称为方程的解空间。如果Template:Mvar不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

$ℒ(y)=0\dots (**)$

设$y^s$是方程(*)的一个解函数。$y$方程(**)的任意一个解函数。则它们的和$y^s+y$仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：$y_1^s$和$y_2^s$。则它们的差$y_1^s-y_2^s$会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成$y^s+y,y\in V$的形式。其中Template:Mvar是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间Template:Mvar，并且$V^{\prime }=y^s+V$。

常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有$e^{zx}$的形式，其中$z$是某个复数。因此，对于以下方程：

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+A_1\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\cdots +A_{n}y=0$

我们设$y=e^{zx}$，可得：

$z^n{e}^{zx}+A_1{z}^{n-1}{e}^{zx}+\cdots +A_n{e}^{zx}=0.$

两边除以e ^zx，便得到了一个n次方程：

$F(z)=z^n+A_1{z}^{n-1}+\cdots +A_n=0.$

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

$\frac{d^{k}y}{d{x}^k}(k=1,2,\dots ,n).$

换成z^k，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z₁, ..., z_n。把任何一个解代入e ^zx，便可以得到微分方程的一个解：e ^z_ix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C₁e ^z₁x + C₂e ^z₂x + …… + C_ne ^z_nx，其中C₁、C₂、……、C_n是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 m_z 重根，那么，对于 $k\in \{0,1,\dots ,m_z-1\}$，$y=x^k{e}^{zx}$ 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 m_z 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数A_i都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e ^{(a + bi)x}和y = e ^{(a - bi)x}都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e ^axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e ^axsinbx。于是，y = C₁e ^axcosbx + C₂e ^axsinbx就是微分方程的通解。

例子

求微分方程$y^{″}-4y^{\prime }+5y=0$的通解。特征方程是$z^2-4z+5=0$，它的根是2+i和2−i。于是，$y=C_1{e}^{2x}\cos x+C_2{e}^{2x}\sin x$就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或Template:Tsl求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

待定系数法

考虑以下的微分方程：

$\frac{dy}{dx}=y+e^{2x}.$

对应的齐次方程是：

$\frac{dy}{dx}=y.$

它的通解是：

$y=c{e}^x.$

由于非齐次的部分是($e^{2x}$)，我们猜测特解的形式是：

$y_p=A{e}^{2x}.$

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

$\frac{d}{dx}\left(A{e}^{2x}\right)=A{e}^{2x}+e^{2x}$

$2A{e}^{2x}=A{e}^{2x}+e^{2x}$

$2A=A+1$

$A=1.$

因此，原微分方程的解是：

$y=c{e}^x+e^{2x}.$ ($c\in R$)

常数变易法

假设有以下的微分方程：

$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

我们首先求出对应的齐次方程的通解$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$，其中C₁、C₂是常数，y₁、y₂是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C₁、C₂换成x的未知函数u₁、u₂，也就是：

$y=u_1{y}_1+u_2{y}_2.\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

两边求導數，可得：

$y^{\prime }={u_1}^{\prime }{y}_1+{u_2}^{\prime }{y}_2+u_1{y_1}^{\prime }+u_2{y_2}^{\prime }.$

我们把函数u₁、u₂加上一条限制：

${u_1}^{\prime }{y}_1+{u_2}^{\prime }{y}_2=0.\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}$

于是：

$y^{\prime }=u_1{y_1}^{\prime }+u_2{y_2}^{\prime }.\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$

两边再求導數，可得：

$y^{″}={u_1}^{\prime }{y_1}^{\prime }+{u_2}^{\prime }{y_2}^{\prime }+u_1{y_1}^{″}+u_2{y_2}^{″}.\mathrm{(}\mathrm{4}\mathrm{)}$

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

${u_1}^{\prime }{y_1}^{\prime }+{u_2}^{\prime }{y_2}^{\prime }+u_1{y_1}^{″}+u_2{y_2}^{″}+p{u}_1{y_1}^{\prime }+p{u}_2{y_2}^{\prime }+q{u}_1{y}_1+q{u}_2{y}_2=f(x).$

整理，得：

${u_1}^{\prime }{y_1}^{\prime }+{u_2}^{\prime }{y_2}^{\prime }+(u_1{y_1}^{″}+p{u}_1{y_1}^{\prime }+q{u}_1{y}_1)+(u_2{y_2}^{″}+p{u}_2{y_2}^{\prime }+q{u}_2{y}_2)=f(x).$

由于y₁和y₂都是齐次方程的通解，因此$u_1{y_1}^{″}+p{u}_1{y_1}^{\prime }+q{u}_1{y}_1$和$u_2{y_2}^{″}+p{u}_2{y_2}^{\prime }+q{u}_2{y}_2$都变为零，故方程化为：

${u_1}^{\prime }{y_1}^{\prime }+{u_2}^{\prime }{y_2}^{\prime }=f(x).\mathrm{(}\mathrm{5}\mathrm{)}$

(2)和(5)联立起来，便得到了一个${u_1}^{\prime }$和${u_2}^{\prime }$的方程组，便可得到${u_1}^{\prime }$和${u_2}^{\prime }$的表达式；再积分，便可得到$u_1$和$u_2$的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

$u{\text{'}}_j=(-1{)}^{n+j}\frac{W(y_1,\dots ,y_{j-1},y_{j+1}\dots ,y_n{)}_{(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{f})}}{W(y_1,y_2,\dots ,y_n)}.$

其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程

n阶的变系数微分方程具有以下形式：

$p_n(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_0(x)y(x)=r(x).$

一个例子是柯西-欧拉方程：

$x^n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

$Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).$

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以$e^{\int f(x)dx}$：

$Dy(x)e^{\int f(x)dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)dx}=g(x)e^{\int f(x)dx},$

用乘法定则，可以简化为：

$D(y(x)e^{\int f(x)dx})=g(x)e^{\int f(x)dx}$

两边积分，得：

$y(x)e^{\int f(x)dx}=\int g(x)e^{\int f(x)dx}dx+c,$

$y(x)=\frac{\int g(x)e^{\int f(x)dx}dx+c}{e^{\int f(x)dx}}.$

也就是说，一阶线性微分方程$y^{\prime }(x)+p(x)y(x)=r(x)$的解是：

$y=e^{-a(x)}(\int r(x)e^{a(x)}dx+\kappa )$

其中$\kappa$是积分常数，且

$a(x)=\int p(x)dx.$

例子

考虑以下一阶线性微分方程：

$\frac{dy}{dx}+by=1.$

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为：

$y(x)=e^{-bx}(\frac{e^{bx}}{b}+C)=\frac{1}{b}+C{e}^{-bx}.$

拉普拉斯变换解微分方程

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

$ℒ\{f^{\prime }\}=sℒ\{f\}-f(0)$

$ℒ\{f^{″}\}=s^2ℒ\{f\}-sf(0)-f^{\prime }(0)$

$ℒ\{f^{(n)}\}=s^nℒ\{f\}-{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n{s}^{n-i}{f}^{(i-1)}(0).$

有如下微分方程：

$\sum _{i=0}^n{a}_i{f}^{(i)}(t)=\varphi (t).$

该方程可变换为：

$\sum _{i=0}^n{a}_iℒ\{f^{(i)}(t)\}=ℒ\{\varphi (t)\}$

则：

$ℒ\{f(t)\}=\frac{ℒ\{\varphi (t)\}+\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{j=1}^i{s}^{i-j}{f}^{(j-1)}(0)}{\sum _{i=0}^n{a}_i{s}^i}.$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 $ℒ\{f(t)\}$ 求得。

参见

• 拉普拉斯变换
• 傅里叶变换
• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程

参考文献

• Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.