合流超几何函数

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

• Kummer 函数（第一类合流超几何函数）Template:Mvar(Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；
• Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）Template:Mvar(Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Template:Mvar(Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar)；
• 惠泰克函数 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关；

Kummer 方程

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 Template:Mvar(Template:Mvar)=₁Template:Mvar₁(Template:Mvar;Template:Mvar;Template:Mvar) 满足的微分方程为：

$z(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a)w=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b-1)w$.

展开后就得到 Kummer 方程，

$z\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+(b-z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-aw=0$,

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

$M(a,b,z)={}_1{F}_1(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}^{(n)}}{(b{)}^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$

式中 (Template:Mvar)^{(Template:Mvar)} 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

${}_1{F}_1(a;c;z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;\frac{z}{b})$

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

$z^{1-c}{}_2{F}_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 Template:Mvar 等同于上式的 Template:Mvar）：

$z^{1-b}{}_1{F}_1(1+a-b;2-b;z)$

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

$U(a,b,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-b)}{\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\mathrm{\Gamma }(b-1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}{z}^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).$

它与另一个广义超几何函数有下列关系：

$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_2{F}_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 ₂Template:Mvar₀ 对应的超几何级数视为渐近级数。

$U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_2{F}_0(a,a-b+1;;-z^{-1}),z\to \mathrm{\infty },|\arg z|<\frac{3\pi }{2}$

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程

大部分系数为自变量 Template:Mvar 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

$(A+Bz)\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(C+Dz)\frac{dw}{dz}+(E+Fz)w=0$

先将 Template:Mvar+Template:Mvar 用一个新的 Template:Mvar 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(C+Dz)\frac{dw}{dz}+(E+Fz)w=0$

这里的 Template:Mvar 是作代换后得到的新的值。然后将 Template:Mvar 用 (Template:Mvar²-4Template:Mvar)^-1/2Template:Mvar 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

$z\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(C+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}}z)\frac{dw}{dz}+(\frac{E}{\sqrt{D^2-4F}}+\frac{F}{D^2-4F}z)w=0$

它的解为，

$w(z)=\exp [-(1+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}})\frac{z}{2}]f(z),f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),a=(1+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}})\frac{C}{2}-\frac{E}{\sqrt{D^2-4F}},k_1,k_2\in ℂ$

李代数参数与惠泰克方程

Kummer 方程的李代数参数定义为

$\alpha =b-1,\theta =2a-b,$

其中第一个李代数参数是 Template:Mvar=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 Template:Mvar=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 Template:Mvar=0 处的两个正则解可以表示为

$F_{\alpha ,\theta }(z)\text{ and }{z}^{-\alpha }{F}_{-\alpha ,\theta }(z)$

惠泰克方程的形式为：

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa }{z}+\frac{1/4-{\mu }^2}{z^2})w=0.$

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系：

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}M(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

$W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}U(\mu -\kappa +\frac{1}{2},1+2\mu ;z)$

注意到

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp (-z/2)z^{\mu +\frac{1}{2}}{F}_{2\mu ,-2\kappa }(z)$

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

积分表示

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

$\mathrm{B}(a,c-a){}_2{F}_1(a,b;c;\frac{z}{b})=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{b-c}(t-1{)}^{c-a-1}(t-\frac{z}{b}{)}^{-b}\mathrm{d}t=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-c}(t-1{)}^{c-a-1}(1-\frac{z}{bt}{)}^{-b}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(a)>0,|\arg (1-\frac{z}{b})|<\pi$

式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示：

$\mathrm{B}(a,c-a){}_1{F}_1(a;c;z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-c}(t-1{)}^{c-a-1}{e}^{\frac{z}{t}}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(a)>0$

第二类合流超几何函数的积分表示为：

$\mathrm{\Gamma }(a)U(a,b,z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-zt}{t}^{a-1}(1+t{)}^{b-a-1}dt,\mathrm{\Re }(a)>0$

变换公式

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

${}_2{F}_1(a,b;c;\frac{z}{b})=(1-\frac{z}{b}{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{1}{b}\frac{bz}{z-b}),|\arg (1-\frac{z}{b})|<\pi$

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式：

${}_1{F}_1(a;c;z)=e^z{}_1{F}_1(c-a;c;-z)$

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为：

$U(a,b,z)=z^{1-b}U(1+a-b,2-b,z)$.

特殊情形

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

柱函数

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为：

$I_{\nu }(z)=\frac{z^{\nu }}{2^{\nu }{e}^z\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}M(\nu +\frac{1}{2},2\nu +1,z)$

$K_{\nu }(z)=\sqrt{\pi }(2z{)}^{\nu }{e}^{-z}U(\nu +\frac{1}{2},2\nu +1,z)$

Γ, 误差函数

不完全伽玛函数可以表示为：

$\gamma (a,z)=\frac{z^a}{a}M(a,a+1,-z),a\notin {\mathbb{Z}}_0^{-}$

$\mathrm{\Gamma }(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$

误差函数可以表示为：

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2z}{\sqrt{\pi }}M(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-z^2)$

正交多项式及相关函数

拉盖尔函数可以表示为：

$L_n^{(\alpha )}(z)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})M(-n,\alpha +1,z),\alpha \notin {\mathbb{Z}}^{-}$

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为：

$H_n(z)=2^{n}U(-\frac{n}{2},\frac{1}{2},z^2),n\in {\mathbb{Z}}_0^{+},\mathrm{\Re }(z)>0$

参考文献

• Template:Springer
• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite book

外部链接

• Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数Template:Wayback
• Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数Template:Wayback