恆等式列表

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數學恆等式列表：

定義

恒等式（Template:Lang-en Equation）是指等式等号两边永远相等的表达式。恒等式的等号可用恒等号（≡）表示。

乘法公式類

以下是常見的乘法公式：

1. 分配律：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
2. 和平方：$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
   • 三項和平方：$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
3. 差平方：$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
   • 三數差平方：$(a-b-c{)}^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$
4. 平方和：$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$
5. 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
6. 和立方：$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
7. 差立方：$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
8. 立方和：$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
9. 立方差：$a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
10. 等冪求和：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
11. 等冪和差：$a^4+a^2{b}^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
12. 平方和、平方差延伸：$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$
13. 多项式平方：$(a+b+c+d{)}^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$
14. 三數和立方：$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(a+c)$

著名等式

• 貝祖等式：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
• Template:Tsl：由伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
• 二项式定理：說明了二項式的冪的代數展開的定理。
• 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式：$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$
• Template:Tsl：${[x^2+y^2+(x+y{)}^2]}^2=2[x^4+y^4+(x+y{)}^4]$
• 欧拉四平方和恒等式：如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。
• Template:Tsl：如果两个数都能表示为八个平方数的和，则这两个数的积也能表示为八个平方数的和。
• 歐拉恆等式：Template:計算結果，包括虛數單位以及二個超越數的等式。
• Template:Tsl：有關斐波那契数列的等式，$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n.$。
• Template:Tsl：有關平方根倒數函數的傅里叶展開的恆等式。
• Template:Tsl：有關下取整函数（floor）求和的恆等式。
• 拉格朗日恒等式：$\Vert 𝐚{\Vert }^2\Vert 𝐛{\Vert }^2-(𝐚\mathbf{\cdot }𝐛{)}^2=\sum _{1\le i<j\le n}{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2,$
• 三角恒等式：許多有關三角函數的恒等式。
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• 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
• 帕塞瓦尔恒等式：$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx,$，“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算。
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• 范德蒙恒等式：$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})$，是有关组合数的求和公式。
• Template:Tsl：$${(A+UCV)}^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U{(C^{-1}+V{A}^{-1}U)}^{-1}V{A}^{-1},$$

函數恆等式

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• 斐波那契数列和斐波那契数列
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• 对数函数积分表
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• List of trigonometric identities
  • 反三角函数
• 对数恒等式
• 求和符号
• 向量恆等式列表

參見

• Template:Tsl
• 不等式列表
• Template:Tsl

外部連結

• 代數恆等式集 A Collection of Algebraic Identities Template:Wayback
• 矩陣恆等式 Matrix Identities Template:Wayback
• Encyclopedia of Equation:等式的百科词典