对数恒等式

Template:Unreferenced 在数学中，有许多对数恒等式。

代数恒等式

简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

${\log }_{\theta }xy={\log }_{\theta }x+{\log }_{\theta }y$	對應到	${\theta }^x{\theta }^y={\theta }^{x+y}$
${\log }_{\theta }\frac{x}{y}={\log }_{\theta }x-{\log }_{\theta }y$		$\frac{{\theta }^x}{{\theta }^y}={\theta }^{x-y}$
${\log }_{\theta }{x}^y=y{\log }_{\theta }x$		$({\theta }^x{)}^y={\theta }^{xy}$
${\log }_{\theta }\sqrt[y]{x}=\frac{{\log }_{\theta }x}{y}$		$\sqrt[y]{x}=x^{\frac{1}{y}}$
${\log }_{\theta }-x={\log }_{\theta }x+\pi i{\log }_{\theta }e$		歐拉恆等式：$e^{\pi i}+1=0$

消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

$b^{{\log }_b(x)}=x$	因为	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	因为	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

换底公式

${\log }_{\theta }x=\frac{{\log }_{\varphi }x}{{\log }_{\varphi }\theta }$

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有Template:Key press和Template:Key press的按钮，但却没有${\log }_2$的。要计算${\log }_2(3)$，只有计算$\frac{{\log }_{10}(3)}{{\log }_{10}(2)}$Template:Notetag。

这个公式有许多推论：

1.倒數公式

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

2.底數$n$次 對數$\frac{1}{n}$倍

${\log }_{a^n}b=\frac{{\log }_{a}b}{n}$

3.上下對調公式

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

${\log }_{\theta }(\mathrm{X}\pm \mathrm{{\rm Y}})={\log }_{\theta }\mathrm{X}+{\log }_{\theta }(1\pm \frac{\mathrm{{\rm Y}}}{\mathrm{X}})$Template:Notetag

普通恒等式

${\log }_b(1)=0$	因为	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	因为	$b^1=b$

注意${\log }_b(0)$无定义，因为没有一个数$x$使$b^x=0$成立。

微积分恒等式

极限

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{if }a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{if }a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

最后一个极限经常被总结为“$x$的对数增长得比$x$的任何次方或方根都慢”。Template:Notetag

对数函数的导数

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}=\frac{\ln e}{x}$

积分定义

$\ln x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt$

对数函数的积分

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

为了记忆积分，可以方便的定义：

$x^{\left[n\right]}=x^n(\log (x)-H_n)$

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log (x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^2\log (x)-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{x}^2$

$x^{\left[3\right]}=x^3\log (x)-\begin{array}{c}\frac{11}{6}\end{array}{x}^3$

于是，

$\frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]}$

$\int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C$

求大数的近似数

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数$2^{32582657}-1$的近似值。先取对数（$-1$被忽略），$2^{32582657}$以10为底的对数等于 32,582,657 与${\log }_{10}(2)$的乘积，计算得到$9808357.09543=9808357+0.09543$。再取指数消去对数，得到最后结果为 $10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}$.

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。