平方差

Template:不是 平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$(a + b)$ 及 $(a - b)$ 的排列不是非常的重要，可隨意排放。

驗證

主驗證

平方差可利用因式分解及分配律來驗證：

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} & = a^{2} - 0 - b^{2} \\ = a^{2} - (a b - b a) - b^{2} \\ = a^{2} - a b + b a - b^{2} \\ = (a^{2} - a b) + (b a - b^{2}) \\ = a (a - b) + b (a - b) \\ = (a - b) (a + b) \end{matrix}

方格驗證

平方差能使用表格方式來驗證。

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
x)已知	$a$	$+ b$
$a$	$a^{2}$	$+ a b$
$- b$	$- a b$	$- b^{2}$

這樣可驗證出 $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

幾何驗證

平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形 $a^{2}$ 減去正方形 $b^{2}$ ，那即是 $a^{2} - b^{2}$ 。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是 $(a + b) (a - b)$ 。

方法一

根据右图，可先將阴影部分分割成三部分，分別为：

$b (a - b)$
$(a - b)^{2}$ 是灰正方
$b (a - b)$

然后，將三部分加起：

b (a - b) + (a - b)^{2} + b (a - b)

= a b - b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b - b^{2}

= a b + a b - 2 a b - b^{2} + b^{2} + a^{2} - b^{2}

= a^{2} - b^{2}

註： $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 运用了差平方。

方法二

與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：

$a (a - b)$ 大長方
$b (a - b)$ 小長方

然後，將兩部分加起：

a (a - b) + b (a - b)

= a^{2} - a b + a b - b^{2}

= a^{2} - b^{2}

例子

例子一

x^{2} - 16

計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：

= x^{2} - 4^{2}

= (x - 4) (x + 4)

例子二

16 m^{2} - 81 n^{2}

計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：

= (4 m)^{2} - (9 n)^{2}

= (4 m - 9 n) (4 m + 9 n)

例子三

4 y^{2} - 36 z^{2}

計算此公式，雖 $4 y^{2}$ 及 $36 z^{2}$ 的開方分別是 $2 y$ 及 $6 z$ ，但最好的方法是先抽出公因子，並得：

= 4 (y^{2} - 9 z^{2})

同樣地把兩個數項轉為平方，並得：

= 4 [y^{2} - (3 z)^{2}]

= 4 (y - 3 z) (y + 3 z)

例子四

\frac{1}{x^{4}} - \frac{13}{x^{2}} + 36

首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：

= x^{- 4} - 13 x^{- 2} + 36

= (x^{- 2})^{2} - 13 (x^{- 2}) + 36

運用因式分解的方法得出：

= x^{- 2} \times x^{- 2} - 9 (x^{- 2}) - 4 (x^{- 2}) + 9 \times 4

= (x^{- 2} - 4) (x^{- 2} - 9)

然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：

= [(x^{- 1})^{2} - 2^{2}] [(x^{- 1})^{2} - 3^{2}]

運用平方差並得出：

= (x^{- 1} - 2) (x^{- 1} + 2) (x^{- 1} - 3) (x^{- 1} + 3)

或

= (\frac{1}{x} - 2) (\frac{1}{x} + 2) (\frac{1}{x} - 3) (\frac{1}{x} + 3)

運用

用平方差代替整數相乘

某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省复雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是 $1 0^{n}$ 的 $+ x$ 及 $- x$ ：

$10 \times 10 = (10 - 0) (10 + 0) = 1 0^{2} - 0^{2} = 100 - 0 = 100$
$7 \times 13 = (10 - 3) (10 + 3) = 1 0^{2} - 3^{2} = 100 - 9 = 91$
$95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
$99, 994 \times 100, 006 = (100, 000 - 6) (100, 000 + 6) = 100, 00 0^{2} - 6^{2} = 10, 000, 000, 000 - 36 = 9, 999, 999, 964$

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是 $1 0^{n}$ ：

$1 4^{2} - 4^{2} = (14 + 4) (14 - 4) = 18 \times 10 = 180$
$12 5^{2} - 2 5^{2} = (125 + 25) (125 - 25) = 150 \times 100 = 15, 000$
$1, 75 0^{2} - 75 0^{2} = (1, 750 + 750) (1, 750 - 750) = 2, 500 \times 1, 000 = 25, 000, 000$
$14, 20 5^{2} - 4, 20 5^{2} = (14, 205 + 4, 205) (14, 205 - 4, 205) = 18, 410 \times 10, 000 = 184, 100, 000$

例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項：

$3263 \times 3264 \times (\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264})$

下一步先運用分配律：

= 3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}

並把所有相同數項約簡，並得：

= 326 4^{2} - 3263 \times 3265

運用平方差，並得：

= 326 4^{2} - (3264 - 1) (3264 + 1)

= 326 4^{2} - (326 4^{2} - 1^{2})

= 326 4^{2} - 326 4^{2} + 1

= 1

錯誤運用

很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$	Template:Tick
$a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$	Template:Cross

註： $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，詳見差平方

數論性質

因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面，

(k + 1)^{2} - (k - 1)^{2} = 4 k

說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而

(k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1

說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。^[1]^[2]

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參考文獻

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外部連結

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[1] Template:Cite OEIS

[2] Template:Cite OEIS

[1]

[2]

平方差

目录

驗證

主驗證

方格驗證

幾何驗證

方法一

方法二

例子

例子一

例子二

例子三

例子四

運用

用平方差代替整數相乘

錯誤運用

數論性質

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參考文獻

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