域扩张

Template:Redirect2 Template:NoteTA 域扩张（Template:Lang-en）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为Template:Le。

定义

设Template:Mvar和Template:Mvar是两个域。如果存在从Template:Mvar到Template:Mvar的域同态Template:Mvar，则称(Template:Mvar,Template:Mvar)是Template:Mvar的一个域扩张，记作Template:Mvar或Template:Mvar⊆Template:Mvar、Template:Mvar⊂Template:MvarTemplate:R。Template:Mvar称为域扩张的基域，Template:Mvar称为Template:Mvar的扩域Template:R。如果某个域Template:Mvar既是Template:Mvar的扩域，又是Template:Mvar的子域，则称域扩张Template:Mvar是域扩张Template:Mvar的子扩张，称Template:Mvar（域扩张Template:Mvar的）中间域。

域扩张的记法Template:Mvar只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为Template:Mvar:Template:Mvar。

另外，因为Template:Mvar是域同态，所以Template:Mvar是单射。由于Template:Mvar是域，所以Template:Mvar(Template:Mvar)是一个Template:Mvar的同构于Template:Mvar的子域。很多时候也直接省略Template:Mvar，直接将Template:Mvar视为Template:Mvar的一个子域Template:R。为了记叙方便，下文中将依情况使用这种省略方式。

设有域扩张Template:Mvar，给定一个由Template:Mvar中不属于Template:Mvar(Template:Mvar)的元素组成的集合Template:Mvar，考虑Template:Mvar中所有同时包含Template:Mvar(Template:Mvar)和Template:Mvar的子域，其中有一个“最小的”，称为“在Template:Mvar中添加（集合）Template:Mvar生成的扩域”，记作Template:Mvar(Template:Mvar)。它是所有同时包含Template:Mvar(Template:Mvar)和Template:Mvar的域的子域Template:R。如果集合Template:Mvar只有一个元素Template:Mvar，则称域扩张Template:Mvar(Template:Mvar)Template:Mvar为单扩张，对应的扩域一般简记作Template:Mvar(Template:Mvar)。Template:Mvar称为这个域扩张的本原元。

每个域扩张中，扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张Template:Mvar，将Template:Mvar中元素看作向量，Template:Mvar中元素看作系数，可以定义Template:Mvar中的域加法运算作为向量的加法运算，同时可以定义Template:Mvar中元素作为系数与Template:Mvar中元素的数乘运算。可以验证，在这样定义下，Template:Mvar是一个Template:Mvar向量空间Template:R。它的维数称为域扩张的次数或度数，一般记作[[[:Template:Mvar]]:Template:Mvar]Template:R。次数为1的扩张，扩域和基域同构，称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张，否则称为无限扩张Template:R。

例子

复数域$ℂ$是实数域$ℝ$的扩域，而$ℝ$则是有理数域$\mathbb{Q}$的扩域。这样，显然$ℂ/ℝ$也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：$[ℂ:ℝ]=2$。因为$ℂ$可以看作是以$\{1,i\}$为基的实向量空间。故扩张$ℂ/ℝ$是有限扩张Template:R。$ℂ=ℝ(i)$，所以这个扩张是单扩张。

集合$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2};a,b,\in \mathbb{Q}\}$是在$\mathbb{Q}$中添加$\sqrt{2}$生成的扩域，显然也是一个单扩张。它的次数是2，因为$\{1,\sqrt{2}\}$可作为一个基。$\mathbb{Q}$的有限扩张也称为代数数域，在代数数论有重要地位Template:R。

有理数的另一个扩张域是关于一个素数Template:Mvar的[[p进数|Template:Mvar进数]]域${\mathbb{Q}}_p$。它与$ℝ$类似，是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同，所以与$ℝ$有着截然不同的性质。

对任何的素数Template:Mvar和正整数Template:Mvar，都存在一个元素个数为Template:Mvar的有限域，记作Template:Math。它是有限域Template:Math（即$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$）的扩域。

给定域Template:Mvar和以Template:Mvar中元素为系数的Template:Mvar不可约多项式Template:Mvar，Template:Mvar为Template:Mvar上的多项式环Template:Mvar[[[:Template:Mvar]]]的元素。Template:Mvar生成的理想是极大理想，因此Template:Mvar[[[:Template:Mvar]]]Template:Mvar是域，而且是Template:Mvar的扩域。其中不定元Template:Mvar是多项式Template:Mvar的根。

给定域Template:Mvar，考虑所有以Template:Mvar中元素为系数的有理函数，即可以表示为两个以Template:Mvar中元素为系数的多项式Template:Mvar、Template:Mvar之比：Template:Math的函数。它们构成一个域，记作Template:Mvar(Template:Mvar)，是多项式环Template:Mvar[[[:Template:Mvar]]]的分式域。它是域Template:Mvar的扩域，次数为无限大Template:R。

基本性质

设有域扩张Template:Mvar，则扩域Template:Mvar与Template:Mvar有相同的加法和乘法单位元。加法群 (Template:Mvar, +) 是 (Template:Mvar,+) 的一个子群，乘法群 (Template:Mvar^×, ·) 是 (Template:Mvar^×, ·) 的一个子群。因此，Template:Mvar与Template:Mvar有相同的特征。

设有域扩张Template:Mvar及某个中间域Template:Mvar，则域扩张Template:Mvar和Template:Mvar的次数乘积等于Template:Mvar的次数Template:R：

$[L:K]=[L:F]\cdot [F:K].$

代数元与超越元

Template:Main 给定域扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar中一个元素Template:Mvar是某个以Template:Mvar中元素为系数的（非零）多项式（以下简称为Template:Mvar多项式）的根，则称Template:Mvar是Template:Mvar上的一个代数元，否则称其为超越元Template:R。如果Template:Mvar中每个元素都是Template:Mvar上的代数元，就称域扩张Template:Mvar为代数扩张，否则称其为超越扩张Template:R。例如$\sqrt{2}$和$i$都是$\mathbb{Q}$上的代数元，而Template:Mvar与Template:Mvar都是$\mathbb{Q}$上的超越元Template:R。$\mathbb{Q}$上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。

每个有限扩张都是代数扩张，反之则不然Template:R。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar中元素要么属于Template:Mvar，要么是Template:Mvar上的超越元，则称Template:Mvar是Template:Mvar的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张，如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

极小多项式

Template:Main 给定域扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar中一个元素Template:Mvar是Template:Mvar上的代数元，那么在所有使得Template:Math 0的首一Template:Mvar多项式Template:Mvar中，存在一个次数最小的，称为Template:Mvar在Template:Mvar上的极小多项式，记为Template:MvarTemplate:R。设Template:Mvar为Template:Mvar次多项式，则中间域Template:Math等于所有以Template:Mvar为不定元的Template:Mvar多项式的集合。更具体地说，等于所有以Template:Mvar为不定元的、次数严格小于Template:Mvar的Template:Mvar多项式的集合：Template:Math。这说明Template:Math中任何元素Template:Mvar都可以写成$b={\lambda }_1+{\lambda }_{2}a+\cdots +{\lambda }_n{a}^{n-1}$的形式。其中$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$是Template:Mvar个Template:Mvar中元素。由于Template:Mvar是极小多项式，所以可推出：$\{1,a,\cdots ,a^{n-1}\}$是中间域Template:Math作为Template:Mvar向量空间的基。扩张Template:MathTemplate:Mvar的次数是Template:Math.

可分裂域与代数闭包

Template:Main 分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张，将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张Template:Mvar，称一个Template:Mvar多项式Template:Mvar在Template:Mvar中可分裂，如果Template:Mvar可以写成：

$f=\kappa (X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_k),\kappa \in K,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k\in L$

的形式，即Template:Mvar的每个根都是Template:Mvar中的元素Template:R。如果Template:Mvar在Template:Mvar中可分裂，但不在Template:Mvar的任何一个包含Template:Mvar的真子域中可分裂（也就是说Template:Mvar是令Template:Mvar在其中可分裂的“最小”的域扩张），就称Template:Mvar是Template:Mvar在Template:Mvar上的可分裂域Template:R。

给定域Template:Mvar，如果所有Template:Mvar多项式在Template:Mvar都可分裂，则称Template:Mvar为代数闭域Template:R。给定代数扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar是代数闭域，则称其为Template:Mvar的代数闭包，一般记作Template:MathTemplate:R。给定Template:Mvar，则它所有的代数闭包都是Template:Mvar同构的Template:R。

域扩张的自同构群

除了将扩域看作基域上的向量空间外，另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张Template:Mvar，Template:Mvar上的一个自同构Template:Mvar被称为Template:Mvar自同构，当且仅当Template:Mvar限制在Template:Mvar上的部分是平凡的（即为恒等映射）Template:R：

$\mathrm{\forall }x\in K,\sigma (x)=x.$

所有的Template:Mvar自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，记作Template:Math(Template:Mvar)。这些自同构描绘了Template:Mvar“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域Template:Mvar的域结构不变Template:R。

正规、可分与伽罗瓦扩张

Template:Main 伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理，在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系，从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张Template:R。一个域扩张Template:Mvar称为正规扩张，如果对任何一个以Template:Mvar中元素为系数的不可约多项式Template:Mvar，只要它有一个根在Template:Mvar中，则它的所有根都在Template:Mvar中，也就是说可以分解为Template:Mvar上一次因式的乘积Template:R。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张，它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张Template:Mvar称为可分扩张，如果Template:Mvar中每个元素在Template:Mvar上的极小多项式是可分的，即（在 Template:Mvar的一个代数闭包中）没有重根Template:R。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出：一个域扩张Template:Mvar是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某个以Template:Mvar中元素为系数的可分多项式的分裂域Template:R。

伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群，记作Template:Math(Template:Mvar)。它的阶数（群中元素个数）等于伽罗瓦扩张的次数：[[[:Template:Mvar]]:Template:Mvar]Template:Math。伽罗瓦理论基本定理说明，当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候，给定Template:Math(Template:Mvar)的任一个子群Template:Mvar，唯一存在一个中间域Template:Mvar⊂Template:Mvar⊂Template:Mvar与之对应，这个域Template:Mvar恰好是Template:Mvar中对所有的Template:Mvar中的自同构固定的元素的集合Template:R：

$L^H=\{x;\mathrm{\forall }\sigma \in H,\sigma (x)=x\}$

这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定Template:Math(Template:Mvar)的子群Template:Mvar，Template:Mvar被称为Template:Mvar的对应域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带，通过研究特定群的结构，可以给出域扩张的仔细刻画。

相关条目

• 域论
• 代数扩张