数域

Template:NoteTA 数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域$ℂ$的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义

设$𝒫$是复数域$ℂ$的子集。若$𝒫$中包含0与1，并且$𝒫$中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在$𝒫$中，就称$𝒫$为一个数域Template:R。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域Template:R。

任何数域都包括有理数域$\mathbb{Q}$Template:R，但并不一定是$\mathbb{Q}$的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域$ℝ$和复数域$ℂ$都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域$ℝ$和复数域$ℂ$以外Template:R，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

$a+b\sqrt{2},a,b\in \mathbb{Q}$

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成$a+b\sqrt{2}$的形式，故仍然在集合之中Template:R。这个集合记作$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，是有理数域$\mathbb{Q}$的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为$𝒞$，是一个数域Template:R。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。$𝒞$是$\mathbb{Q}$的扩域，次数为无限大，是实数域$ℝ$的子域Template:R。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作$𝒜$，是一个数域。$𝒜$也常被称为代数数域，但与定义为“$\mathbb{Q}$的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个$\mathbb{Q}$的有限扩张生成的域都可看作是$\mathbb{Q}$中加入某个代数数扩成的，所以都是$𝒜$的子域。可构造数构成的数域$𝒞$也是$𝒜$的子域。由于虚数单位Template:Mvar也是代数数，所以$𝒜$不是$ℝ$的子域。另一方面，自然对数的底Template:Mvar以及圆周率Template:Mvar都不是代数数，所以$ℝ$也不是$𝒜$的子域。

参考来源

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