代數擴張

代数扩张（Template:Lang-en）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張Template:Mvar被稱作代數擴張，若且唯若Template:Mvar中的每个元素都是某个以Template:Mvar中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：$ℂ/ℝ$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$。

定义

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张Template:Mvar，Template:Mvar某个元素如果是一个以Template:Mvar中元素为系数的非零多項式的根，则称其为Template:Mvar上的代数元。如果Template:Mvar中所有元素都是Template:Mvar上的代数元，就称域扩张Template:Mvar为代数扩张。

次數

設有域擴張Template:Mvar，Template:Mvar可以看作是Template:Mvar上的向量空間，将其維度稱作這個擴張的次數，记作[[[:Template:Mvar]]:Template:Mvar]。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張Template:Mvar，則Template:Mvar裡的任一元素Template:Mvar生成的子擴張Template:Mvar都是Template:Mvar的有限擴張。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張Template:Mvar中，Template:Mvar中的每個元素Template:Mvar都是某個以Template:Mvar中元素为系数的多項式（以下简称Template:Mvar多项式，所有Template:Mvar多项式的集合记作Template:Math）Template:Mvar的根。所有以Template:Mvar为根的Template:Mvar多項式中次數最低者稱作Template:Mvar的极小多項式（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。

若Template:Mvar多项式Template:Mvar不可約，則商環Template:Math是Template:Mvar的一個域擴張，它的次数Template:Math，而且不定元Template:Mvar在商环中的像是在Template:Mvar的一個在Template:Mvar中的根，其极小多項式正是Template:Mvar。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如$ℝ[X]/(X^2+1)$就是在实数域中添加了虚数单位Template:Mvar得到的扩域：複數域$ℂ$。

给定域扩张Template:Mvar，如果Template:Mvar多项式Template:Mvar可以在Template:Mvar中分解成一次因子的積，則稱Template:Mvar在Template:Mvar中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張Template:Mvar使得Template:Mvar分裂；Template:Mvar裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作Template:Mvar在Template:Mvar上的分裂域。Template:Mvar在Template:Mvar上的任兩個分裂域至多差一個Template:Mvar上的同構（即：一個限制在Template:Mvar上的部分為恆等映射的環同構）。

正規擴張

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張Template:Mvar被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

• 固定代數閉包Template:Math，任何Template:Mvar上的（即在Template:Mvar上是恆等映射的）域嵌入Template:Math，都有Template:Math。
• 存在一族在Template:Mvar上分裂的多項式$(f_i{)}_{i\in I}\subset K[X]$，使得Template:Mvar是在Template:Mvar中添加它們的根生成的域扩张。
• Template:Math中任何不可約多項式若在Template:Mvar裡有根，則在Template:Mvar裡分裂（全部的根都在Template:Mvar里面）。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着Template:Math里的一个多项式。

例子

• $x^2+1$ 在$ℝ$上的分裂域是$ℂ$。
• $x^3+2$ 在$\mathbb{Q}$上的分裂域是$\mathbb{Q}(e^{\frac{2}{3}\pi \mathrm{i}},\sqrt[3]{2})$。
• $(x^2-2)(x^2-3)$ 在$\mathbb{Q}$上的分裂域是$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 是正規域擴張， $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$卻不是，因為後者並沒有包括$x^3-2$的所有根，欠了$\sqrt[3]{2}{e}^{\frac{2}{3}\pi \mathrm{i}},\sqrt[3]{2}{e}^{-\frac{2}{3}\pi \mathrm{i}}$。

可分擴張

設Template:Mvar為代數擴張，如果Template:Mvar的极小多項式沒有重根，則稱Template:Mvar可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於Template:Math1，這可以直接在Template:Mvar中計算）。所有可分元素形成一個中间域Template:Mvar⊂Template:Mvar⊂Template:Mvar，Template:Math稱作Template:Mvar的可分次數。若Template:Math，則稱Template:Mvar是可分擴張。

當Template:Mvar是有限擴張時，定義不可分次數Template:Math。當基域的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

参考文献

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

外部链接

• 簡介 Galois 理論 /李華介 Template:Wayback