分裂域

Template:NoteTA 在抽象代数中，一个系数域为$𝕂$的多项式$P(x)$的分裂域（根域）是$𝕂$的“最小”的一个扩域$𝕃$，使得在其中$P$可以被分解为一次因式$x-r_i$的乘积，其中的$r_i$是$𝕃$中元素。一个$𝕂$上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，$𝕂$上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

称一个系数域为$𝕂$的多项式 $P(x)$在$𝕂$的某个扩域$𝕃$中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

$P=\sum _{i=0}^k{a}_i{x}^i=a_k\prod _{i=1}^k(x-r_i)$

其中的$a_i\in 𝕂$，$r_i\in 𝕃$。换句话来说，$P$的根都在$𝕃$中。

使得$P$在其中分裂的扩域$𝕃$有很多，譬如对于某个使得$P$分裂的的$𝕃$，它任意的扩域${𝕃}^{\prime }$也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域$𝔼$：

1. 在$𝔼$里，$P$，可以分解为一次因式的乘积；
2. 在$𝔼$的任何真子域（不等于自身）里，$P$都无法如此分解。这样的扩域称为$P$在$𝕂$上的分裂域。

例子

如果$𝕂$是有理数域$\mathbb{Q}$，多项式为

$P(x)=x^3-2$

那么其分裂域$𝕃$可以是在$\mathbb{Q}$中添加三次单位根$\omega$和2的立方根而得到的扩域：$\mathbb{Q}(\omega ,\sqrt[3]{2})$。因为这时$P$可以写作：

$P=(x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})(x-{\omega }^2\sqrt[3]{2})$

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多项式$x^2+1$在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
• 多项式$x^2+1$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF_7².

多项式$x^2-1$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF₇，因为在其上$x^2-1=(x+1)(x-1)$已经分解完毕。

性质

给定多项式$P(x)$，在 $𝕂$上的分裂域$𝔼$，假设在$𝔼$里$P$，分解为

$P=a\prod _{i=1}^k(x-r_i)$

那么$𝔼=𝕂(r_1,r_2,\cdots ,r_k)$。

对于域$𝕂$的一个代数闭域扩域$𝔸$和$𝕂$上的一个多项式$P$，存在$P$在$𝕂$上的唯一的一个分裂域$𝕃$，使得$𝕂\subset 𝕃\subset 𝔸$。

对于$𝕂$的一个可分扩张${𝕂}^{\prime }$，${𝕂}^{\prime }$的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是$𝕂$的包含${𝕂}^{\prime }$的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了${𝕂}^{\prime }$中任意元素$a$，在$𝕂$上的极小多项式在$𝕂$上的分裂域。

参见

• 代数扩张
• 正规扩张
• 极小多项式
• 可分扩张

参考来源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]Template:Dead link
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接

• 李華介，簡介Galois理論 Template:Wayback