代数数域

Template:NoteTA Template:SelfDistinguish 代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩张形成的扩域Template:R。任何代数数域都可以视作$\mathbb{Q}$上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

定义

预备知识

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域$\mathbb{Q}$。

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域Template:Mvar中加入不属于此域的元素（一般以集合Template:Mvar记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域Template:Mvar称为“Template:Mvar（添加Template:Mvar中元素得到）的扩域”。称Template:Mvar是Template:Mvar的子域。一般将“Template:Mvar到Template:Mvar的域扩张”记作Template:Mvar⊂Template:Mvar或Template:Mvar/Template:Mvar。

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域Template:Mvar为系数域的向量空间（通常称作Template:Mvar上的向量空间或Template:Mvar向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以Template:Mvar中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以Template:Mvar中元素组成的有序数组：$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。其中的Template:Mvar是基中向量的个数，也称为空间的维数。

有限扩张

设Template:Mvar是域Template:Mvar的一个扩域。将Template:Mvar中的元素看作向量，以Template:Mvar作为系数域，可以证明Template:Mvar是一个Template:Mvar向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称Template:Mvar是Template:Mvar的有限扩张。Template:Mvar作为Template:Mvar向量空间的维数，称为扩张的次数，记作Template:MathTemplate:Mvar : Template:MvarTemplate:Math。

定义

若域Template:Mvar是有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩张，则称之为代数数域Template:R。

例子

最小最基本的代数数域是有理数域$\mathbb{Q}$。因为$\mathbb{Q}$自身是$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，维数是1。因此$\mathbb{Q}$是$\mathbb{Q}$自身的域扩张，$[\mathbb{Q}:\mathbb{Q}]=1.$

高斯有理数$\mathbb{Q}(i)$（Template:Mvar为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：

$a+bi,a,b\in \mathbb{Q}$

的数构成的集合。可以证明，$\mathbb{Q}(i)$是域，而且是$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，以$\{1,i\}$为基，空间维数是2。所以$\mathbb{Q}(i)$是$\mathbb{Q}$的二次扩张，$[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2.$

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数Template:Mvar，二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$在$\mathbb{Q}$中添加Template:Mvar的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$是$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，以$\{1,\sqrt{d}\}$为基，空间维数是2，即$[\mathbb{Q}(\sqrt{d}):\mathbb{Q}]=2.$

考虑多项式方程$x^n=1$的Template:Mvar个复根${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$，它们被称做[[单位根|Template:Mvar次单位根]]，具体可以写作：

${\xi }_i=e^{\frac{2i\pi }{n}},i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.$

在$\mathbb{Q}$中添加${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$得到的扩域称为[[分圆域|Template:Mvar次分圆域]]，记作$\mathbb{Q}({\xi }_n)$。可以证明$\mathbb{Q}({\xi }_n)$是有限维$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，维数为$\phi (n)$（$\phi$是数论中的欧拉函数），即$[\mathbb{Q}({\xi }_n):\mathbb{Q}]=\phi (n).$

实数域$ℝ$、复数域$ℂ$和[[p进数|Template:Mvar进数域]]${\mathbb{Q}}_p$都不是$\mathbb{Q}$的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是$\mathbb{Q}$的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域$𝒞$和全体代数数构成的域$𝒜$（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是$\mathbb{Q}$的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数域与代数数

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域Template:Mvar，依定义，域扩张$\mathbb{Q}\subset L$是有限扩张。设其次数为正整数Template:Mvar。将Template:Mvar看作是Template:Mvar维$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，在Template:Mvar中任意选一个不属于$\mathbb{Q}$的数Template:Mvar，它可以被看作是Template:Mvar维$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的Template:Mvar + 1个向量：

$1,z,z^2,\cdots ,z^m$

它们都属于Template:Mvar。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的Template:Mvar + 1个有理数：$a_0,a_1,\cdots ,a_m$，使得：

$a_0+a_{1}z+\cdots +a_m{z}^m=0$.

考虑非零多项式$P=a_0+a_{1}X+\cdots +a_m{X}^m$，$P(z)=0$，即Template:Mvar是多项式$P$的根。所以Template:Mvar是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数

Template:Main 代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数Template:R。显然代数整数是一种代数数。任何整数Template:Mvar都是一次整系数多项式Template:Mvar的根，因此是代数整数。给定代数数域Template:Mvar，Template:Mvar中所有代数整数构成一个环，称作Template:Mvar中的（代数）整数环，也称为Template:Mvar整数环，记作${𝒪}_F$。例如$\mathbb{Q}$上的代数整数环就是$\mathbb{Z}$，因此在代数数域研究中$\mathbb{Z}$也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域Template:Mvar中的整数环${𝒪}_F$与$\mathbb{Z}$有不同的代数性质。${𝒪}_F$不一定是唯一分解整环。举例来说，设$F=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$，Template:Mvar中的整数环是${𝒪}_F=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$。$2,3,1+\sqrt{-5},1-\sqrt{-5}$都是${𝒪}_F$中的“素数”。正整数6，作为${𝒪}_F$中的元素，它的素因数分解有两种方式：

$6=2\times 3=(1+\sqrt{-5})\times (1-\sqrt{-5}).$

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：${𝒪}_F$的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来Template:R。

代数数域的基

整数基

设Template:Mvar为Template:Mvar次代数数域，Template:Mvar的整数基是任一由Template:Mvar个Template:Mvar整数组成的集合：

$B=\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\}$

使得任一个Template:Mvar整数Template:Mvar都能唯一地表示为这Template:Mvar个Template:Mvar整数的整线性组合，即：

$\mathrm{\forall }x\in {𝒪}_F,\mathrm{\exists }!(m_1,m_2,\cdots ,m_n)\in {\mathbb{Z}}^n$，使得$x=m_1{b}_1+m_2{b}_2+\cdots +m_n{b}_n.$

换句话说，整数基Template:Mvar是${𝒪}_F$作为自由$\mathbb{Z}$Template:Mvar模的基。给定Template:Mvar的一组整数基Template:Mvar，可以证明，所有Template:Mvar中元素Template:Mvar都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：

$\mathrm{\forall }x\in F,\mathrm{\exists }!(q_1,q_2,\cdots ,q_n)\in {\mathbb{Q}}^n$，使得$x=q_1{b}_1+q_2{b}_2+\cdots +q_n{b}_n.$

这说明Template:Mvar是Template:Mvar作为Template:Mvar维$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间的一组基。而且由于Template:Mvar中元素都是Template:Mvar整数，故Template:Mvar名为整数基。此外可以证明，Template:Mvar是Template:Mvar整数当且仅当所有$q_1,q_2,\cdots ,q_n$都是有理整数。

乘幂基

设Template:Mvar为Template:Mvar次代数数域。作为Template:Mvar维$\mathbb{Q}$Template:Mvar向量空间，Template:Mvar包含如下形式的基：

$B=\{1,\beta ,{\beta }^2,\cdots ,{\beta }^{n-1}\}$

其中每个元素都是某个特定的数Template:Mvar的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的Template:Mvar一定存在，称为域扩张$\mathbb{Q}\subset F$的本原元。如果Template:Mvar不仅是本原元，还是Template:Mvar整数，那么这时Template:Mvar也是整数基，称作乘幂整数基，称Template:Mvar为单衍域（Template:Lang）。

参见

• 狄利克雷单位定理, S-单位
• 库默尔扩张
• 闵可夫斯基定理 几何数论
• Chebotarev稠密定理
• 射线类群
• 分解群
• 亏格域

参考来源

• Template:Citation
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
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• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995