商环

Template:NoteTA Template:環論在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義

設 $R$ 為一環， $I \subset R$ 為一雙邊理想。定義下述等價關係

x \sim y ⟺ x - y \in I

令 $R / I$ 為其等價類的集合，其中的元素記作 $a + I$ ，其中 $a$ 是該元素在 $R$ 上任一代表元。我們可以在 $R / I$ 上定義環結構：

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

(a + I) \cdot (b + I) = a b + I

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到 $I$ 是雙邊理想）。集合 $R / I$ 配合上述運算稱作 $R$ 對 $I$ 的商環。根據定義，商映射 $R \to R / I, a \mapsto a + I$ 是滿的環同態， $I$ 為此同態的核。

如果 $R$ 含單位元 $1$ ，則 $1 + I$ 是 $R / I$ 的單位元。

註：若條件弱化為 $I$ 是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合 $R / I$ 左（或右） $R$ -模結構。

最平凡的例子是 $I = (0), I = R$ ，此時分別得到 $R / (0) = R, R / R = (0)$ 。
取 $R = ℤ, I = n ℤ$ ，商環 $ℤ / n ℤ$ 可視為模運算的代數框架，其中的元素即模 $n$ 的剩餘類。
商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實係數多項式環 $R = ℝ [X]$ ， $I = (X^{2} + 1) ℝ [X]$ ，則商環 $ℝ [X] / (X^{2} + 1)$ 與複數域 $ℂ$ 同構（考慮映射 $f (X) + (X^{2} + 1) \mapsto f (i)$ ）。一般而言，設 $F$ 為一個域， $p (X) \in F [X]$ 為 $F$ 上的不可約多項式，則商環 $F [X] / p (X)$ 的意義在於抽象地在 $F$ 上加進 $p (X)$ 的一個根。

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設

π : R \to R / I

為商同態；對任何環同態

ϕ : R \to S

，若

K e r (ϕ) \supset I

，則存在唯一的同態

ψ : R / I \to S

，使得

ψ \circ π = ϕ

。

事實上，若更設 $K e r (ϕ) = (0)$ ，則 $ψ : R / I \to S$ 是單射。準此， $R$ 的同態像無非是 $R$ 的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當 $R$ 是交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環時， $I$ 是素理想（或極大理想）若且唯若 $R / I$ 是整環（或域）； $R$ 中包含 $I$ 的理想一一對應於 $R / I$ 中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。