判别式

判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

a_{n}^{2 n - 2} \prod_{i < j} (r_{i} - r_{j})^{2}

其中的 $a_{n}$ 是多项式的最高次项系数， $r_{1}, . . ., r_{n}$ 是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义

二次方程的判别式

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程 $a x^{2} + b x + c$ ，其中系数 $a, b, c$ 为实数，则它的判别式定义为：

Δ = b^{2} - 4 a c

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

r_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, r_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} .

方程的根与判别式的关系为：

Δ = a^{2} (r_{1} - r_{2})^{2} .

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。

三次方程的判别式

三次多项式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的判别式是

Δ = b^{2} c^{2} - 4 a c^{3} - 4 b^{3} d - 27 a^{2} d^{2} + 18 a b c d

二次項系數為零的首一三次多項式 $x^{3} + p x + q$ 的判别式是：

Δ = - 4 p^{3} - 27 q^{2}

四次方程的判别式

四次多項式 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ 的判别式是：

\begin{matrix} Δ = & b^{2} c^{2} d^{2} - 4 b^{3} d^{3} - 4 a c^{3} d^{2} + 18 a b c d^{3} \\ - 27 a^{2} d^{4} + 256 a^{3} e^{3} - 4 b^{2} c^{3} e + 18 b^{3} c d e \\ + 16 a c^{4} e - 80 a b c^{2} d e - 6 a b^{2} d^{2} e + 144 a^{2} c d^{2} e \\ - 27 b^{4} e^{2} + 144 a b^{2} c e^{2} - 128 a^{2} c^{2} e^{2} - 192 a^{2} b d e^{2} \end{matrix}

二次判别式

二次多项式 $P (x) = a x^{2} + b x + c$ 的判别式是 $D = b^{2} - 4 a c$ 。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。

如果 $D > 0$ ，那么 $P (x)$ 有两个相异实根 $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，即 $P (x)$ 的图像穿过 $x$ 轴两次。
如果 $D = 0$ ，那么 $P (x)$ 有两个相等实根 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ ， $P (x)$ 的图像与 $x$ 轴相切。
如果 $D < 0$ ，那么 $P (x)$ 没有实根，即 $P (x)$ 的图像与 $x$ 轴没有交点。

一般多项式的判别式

对于一般的一个多项式

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x + a_{0}

，

其判别式等于（差一个系数）以下的 $(2 n - 1) \times (2 n - 1)$ 的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

[\begin{matrix} a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{1} & a_{0} & 0 \dots & \dots & 0 \\ 0 & a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{1} & a_{0} & 0 \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{1} & a_{0} \\ n a_{n} & (n - 1) a_{n - 1} & (n - 2) a_{n - 2} & \dots & a_{1} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & n a_{n} & (n - 1) a_{n - 1} & (n - 2) a_{n - 2} & \dots & a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & n a_{n} & (n - 1) a_{n - 1} & (n - 2) a_{n - 2} & \dots & a_{1} \end{matrix}] .

这个矩阵的行列式称为 $p (x)$ 和 $p^{'} (x)$ 的结式，记为 $R (p, p^{'})$ 。 $p (x)$ 的判别式 $D (p)$ 由以下公式给出：

D (p) = (- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)} \frac{1}{a_{n}} R (p, p^{'})

.

例如，在 $n = 4$ 的情况下，以上的行列式是：

| \begin{matrix} a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ 4 a_{4} & 3 a_{3} & 2 a_{2} & 1 a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 a_{4} & 3 a_{3} & 2 a_{2} & 1 a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 a_{4} & 3 a_{3} & 2 a_{2} & 1 a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 a_{4} & 3 a_{3} & 2 a_{2} & 1 a_{1} \end{matrix} |

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以 $a_{4}$ 。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

a_{n}^{2 n - 2} \prod_{i < j} (r_{i} - r_{j})^{2}

其中 $r_{1}, \dots, r_{n}$ 是多项式 $p (x)$ 的複根（重根按重数计算）：

\begin{matrix} p (x) & = & a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ = & a_{n} (x - r_{1}) (x - r_{2}) \dots (x - r_{n}) \end{matrix}

在这个表达式中可以清楚地看到 $p$ 有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根 $r_{i}$ 的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式

对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f = 0

它的判别式为：

b^{2} - 4 a c

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

二次型的判别式

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和：

Q = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} L_{i}^{2}

其中L_i是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有a_i的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。

代数数域的判别式

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参见

参考资料与外部链接

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判别式

目录

定义

二次方程的判别式

三次方程的判别式

四次方程的判别式

二次判别式

一般多项式的判别式

圆锥曲线的判别式

二次型的判别式

代数数域的判别式

参见

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二次方程的判别式

三次方程的判别式

四次方程的判别式

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一般多项式的判别式

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二次型的判别式

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