一元二次方程

Template:Refimprove Template:Further Template:NoteTA 一元二次方程式是只含有一个未知數，并且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

例如，$x^2-3x+2=2$，$(3-2i)x^2+\sqrt[\pi ]{23-6i}x-\sin 2=0$，$t^2-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

其中，$a{x}^2$是二次项，$bx$是一次项，$c$是常数项。$a\ne 0$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，$a\ne 0$也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

历史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

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将其转化为数学语言：解关于$x$的方程 $a{x}^2+bx=-c$

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即$4a$，得　$4a^2{x}^2+4abx=-4ac$

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即$b^2$，得　$4a^2{x}^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$

然后在方程的两边同时开二次方根，得　$2ax+b=\pm \sqrt[2]{-4ac+b^2}$

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据$a$、$b$、$c$三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

因式分解法

把一个关于 $x$ 一元二次方程变形成一般形式 $a{x}^2+bx+c=0$ 后，如果 $a{x}^2+bx+c=0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$存在两个实根$x_1,x_2$，那么它可以因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。

例如，解一元二次方程$x^2-3x+2=0$时，可将原方程左边分解成$(x-1)(x-2)=0$，所以$x-1=0x-2=0$，可解得$x_1=1x_2=2$

公式解法

对于$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$，若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；

若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$；

若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$

①移项，得：

$a{x}^2+bx=-c$；

②二次项系数化为 $1$，得：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；

③配方，得：

$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$，

$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；

因为 $a\ne 0$，所以

若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}>0$，则它的两个不等实数根可以表示为

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；

若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}=0$，则它的两个相等实数根可以表示为

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$；

若$\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}<0$，则它的两个共轭复数根可以表示为

$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$。

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式$\sqrt{b^2-4ac}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為$b^2-4ac$的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式

对于实系数一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$，$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果$\mathrm{\Delta }>0$，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且$\mathrm{\Delta }$是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。

• 如果$\mathrm{\Delta }=0$，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

• 如果$\mathrm{\Delta }<0$，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$。

非实系数一元二次方程

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

一元二次方程的根与系数的关系

根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。$$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$$$$x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$$

图像解法

$\mathrm{\Delta }>0$，则该函数与x轴相交（有两个交点）
$\mathrm{\Delta }=0$，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
$\mathrm{\Delta }<0$，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$的根的几何意义是二次函数$y=a{x}^2+bx+c$的图像（为一条抛物线）与 $x$ 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

$a{x}^2+bx+c=0$的解是$y=x^2$和$y=-\begin{array}{c}\frac{b}{a}x\end{array}-\begin{array}{c}\frac{c}{a}\end{array}$交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$化为$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$ 的形式。

则方程$a{x}^2+bx+c=0$的根，就是函数$y=x^2$和$y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数) Template:Clear

参见

• 方程
• 三次方程
• 和平方
• 差平方
• 平方差
• 配方法

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I Template:Wayback，Part II Template:Wayback