共轭复数

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算

正式定義

复数 $z = a + b i$ （ $a, b \in ℝ$ ）的共軛定義為：

\overline{z} = \overline{a + b i} = a - b i

有時也表為：

z^{*} = {(a + b i)}^{*} = a - b i

如：

\overline{3 - 2 i} = 3 + 2 i

\overline{7} = 7

（實數的共軛為自身）

\overline{i} = - i

（純虛數的共軛）

將複數理解為複平面的一點的話，則几何上，複共軛是此點以實數軸為對稱軸的反射。

對於複數 $z, w$ ：

\begin{matrix} \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \\ \overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w} \\ \overline{z w} = \overline{z} \overline{w} \\ \overline{(\frac{z}{w})} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} & (w \neq 0) \\ \overline{z} = z & (z \in ℝ) \\ \overline{z^{n}} = \overset{n}{\overline{z}} & (n \in ℤ) \\ | \overline{z} | = | z | \\ | \overline{z} |^{2} = z \overline{z} \\ \overline{(\overline{z})} = z \\ z^{- 1} = \frac{\overline{z}}{| z |^{2}} & (z \neq 0) \end{matrix}

一般而言，如果複平面上的函數 $ϕ$ 能表為實係數冪級數，則有：

ϕ (\overline{z}) = \overline{ϕ (z)}

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：

\begin{matrix} \exp (\overline{z}) = \overline{\exp (z)} \\ \log (\overline{z}) = \overline{\log (z)} & (z \neq 0) \end{matrix}

透過欧拉公式，在極坐標表法下，複數共軛可以寫成

\overline{r e^{i θ}} = r e^{- i θ}

複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為 $τ$ ，則有 $Gal (ℂ / ℝ) = {1, τ}$ 。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為 $F_{\infty}$ 。