二次方程

Template:Refimprove Template:NoteTA 二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程^[1]。

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为： $a x^{2} + b x + c = 0$ ，其中 $a \neq 0$ 。 $a x^{2}$ 为方程的二次项， $a$ 为方程的二次项系数； $b x$ 为一次项， $b$ 为一次项系数； $c$ 为常数项。若 $a = 0$ ，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

一元二次方程根的判别式為 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 。

若 $Δ > 0$ ，則該方程有两個不相等的實数根： $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ；

若 $Δ = 0$ ，則該方程有两個相等的實数根： $x_{1, 2} = - \frac{b}{2 a}$ ；

若 $Δ < 0$ ，則該方程有一對共軛複數根： $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i \sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a}$ 。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當 $Δ \geq 0$ 時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當 $Δ < 0$ 時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

根与系数的关系

Template:See

设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的两根，则

两根之和： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

两根之积： $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 称之为 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的求根公式：

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} & = 0 \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} & = 0 \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a} & = 0 \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$ Template:Clear 或不將 $x^{2}$ 係數化為1： Template:Clear $\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ a x^{2} + b x + {(\frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} & = {(\frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} - c \\ {(x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} & = {(\frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} - c \\ x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}} & = \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 \sqrt{a}})}^{2} - c} \\ x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a} - c} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}}} \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

对应函数的极值

设 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ），
对 $x$ 求导，得

\frac{d y}{d x} = 2 a x + b

令 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，得

\begin{matrix} x & = - \frac{b}{2 a} \end{matrix}

即为 $y$ 的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。将 $x = - \frac{b}{2 a}$ 代入 $y$ ，可得

\begin{matrix} y & = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \end{matrix}

即为 $y$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
$f^{″} (x) < 0$ ， $x$ 是 $f (x)$ 的极大值点，
$f^{″} (x) > 0$ ， $x$ 是 $f (x)$ 的极小值点；
由 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 a$ ，可知：
当 $a < 0$ 时（抛物线开口向下）， $x = - \frac{b}{2 a}$ 为 $y$ 的极大值点；
当 $a > 0$ 时（抛物线开口向上）， $x = - \frac{b}{2 a}$ 为 $y$ 的极小值点。

參見

参考

↑ Template:Cite web Template:Wayback

Template:多項式

[1] Template:Cite web Template:Wayback

[1]

二次方程

目录

一元二次方程

方程的一般形式

求根公式

根与系数的关系

求根公式的由来

对应函数的极值

參見

参考

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一元二次方程

方程的一般形式

求根公式

根与系数的关系

求根公式的由来

对应函数的极值

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