二次函数

解析式：$f(x)=x^2-x-2$

在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为 $f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$，且$a$、$b$、$c$是常数）的多项式函数，其中，$x$为自变量Template:Efn，$a$、$b$、$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于$y$轴的抛物线。

二次函数表达式$a{x}^2+bx+c$的定义是一个二次多项式，因为$x$的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。Template:Efn

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。Template:Efn

根

二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的两个根为：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$解方程后，我们会得到两个根：$x_1$和$x_2$。则点$(x_1,0)$和$(x_2,0)$就是二次函数与$x$轴的交点。根的类型如下：

• 设$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$為一元二次方程式的判別式，又記作D。
• 當$\mathrm{\Delta }>0$，则方程有两个不相等的根，也即与$x$轴有两个不Template:Tsl的交点，因为$\sqrt{\mathrm{\Delta }}$是正数。
• 當$\mathrm{\Delta }=0$，则方程有两个相等的根，也即与$x$轴有一个切点，因为$\sqrt{\mathrm{\Delta }}$是零。
• 當$\mathrm{\Delta }<0$，则方程没有實數根，也即与 $x$ 轴没有交点，因为$\sqrt{\mathrm{\Delta }}$是共軛複數。

设$r_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$r_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以把$a{x}^2+bx+c$因式分解为$a(x-r_1)(x-r_2)$。

二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

• $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 称为一般形式或多项式形式。
• $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ 称为因子形式或交点式，其中$r_1$和$r_2$是二次方程的两个根，$(r_1,0)$,$(r_2,0)$ 是抛物线与$x$轴的两个交点。
• $f(x)=a(x-h{)}^2+k$ 称为标准形式或顶点形式，$(h,k)$即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根$r_1$和$r_2$，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

$h$代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為$h$

• $k$展開後比較後可得 $k=-a{\left(\frac{|r_1-r_2|}{2}\right)}^2$

不通過$r_1$和$r_2$求$k$及$h$公式：

• $h=-\frac{b}{2a}$
• $k=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ (也作$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$)

而在三種形式中皆出現的$a$為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像

$f(x)=a{x}^2{|}_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}$

$f(x)=x^2+bx{|}_{b=\{1,2,3,4\}}$

$f(x)=x^2+bx{|}_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}$

• 系数$a$控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。$|a|$越大，开口越小，函数就增长得越快。
• 系数$b$和$a$控制了抛物线的对称轴（以及顶点的$x$坐标）。
• 系数$b$控制了抛物线穿过$y$轴时的倾斜度（导数）。
• 系数$c$控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与$y$轴的交点。

函数	图像			函数变化	对称轴	开口方向	最大（小）值
$y=a{x}^2$	$a>0$			当$x>0$时，$y$随$x$的增大而增大； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大	$y$轴 或$x=0$	向上	$0$
$y=a{x}^2$	$a<0$			当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而减小； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小	$y$轴 或$x=0$	向下	$0$
$y=a{x}^2+c$	$a>0$			当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而增大； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大	$y$轴 或$x=0$	向上	$c$
$y=a{x}^2+c$	$a<0$			当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小	$y$ 轴 或 $x=0$	向下	$c$
$y=a{x}^2+bx+c$	$a>0$			当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$ 随$x$的增大而增大； 当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的减小而增大	$x=-\frac{b}{2a}$	向上	$-\frac{b^2-4ac}{4a}$
$y=a{x}^2+bx+c$	$a<0$			当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$ 随$x$的增大而减小； 当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的减小而减小	$x=-\frac{b}{2a}$	向下	$-\frac{b^2-4ac}{4a}$

x 截距

当函数与$x$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 $A(x_1,0),B(x_2,0)$，由根与系数的关系得出Template:Efn：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$和$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

$\begin{array}{cc}\therefore AB& =|x_2-x_1|\\ & =\left|\sqrt{(x_2-x_1{)}^2}\right|\\ & =\left|\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}\right|\\ & =\left|\sqrt{{(-\frac{b}{a})}^2-\frac{4c}{a}}\right|\\ & =\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right|\\ & =\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right|\\ & =\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}\text{或}\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}\end{array}$

顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为$(h,k)$。用配方法，可以把一般形式$f(x)=a{x}^2+bx+c$化为：$$f(x)=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：$$(-\frac{b}{2a},-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a})$$如果二次函数是因子形式$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$，则两个根的平均数$$\frac{r_1+r_2}{2}$$就是顶点的$x$坐标，因此顶点位于$$(\frac{r_1+r_2}{2},f(\frac{r_1+r_2}{2}))$$$a<0$时，顶点也是最大值；$a>0$时，则是最小值。

经过顶点的竖直线$$x=h=-\frac{b}{2a}$$又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值

導數法

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数$f(x)=a{x}^2+bx+c$，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：$$f(x)=a{x}^2+bx+c\iff f^{\prime }(x)=2ax+b$$然后，求出$f^{\prime }(x)$的根：$$2ax+b=0\Rightarrow 2ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{2a}$$因此，$-\frac{b}{2a}$是$f(x)$的$x$值。现在，为了求出$y$，我们把$x=-\frac{b}{2a}$代入 $f(x)$：$$y=a{(-\frac{b}{2a})}^2+b(-\frac{b}{2a})+c\Rightarrow y=\frac{a{b}^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c\Rightarrow y=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c\Rightarrow y=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\Rightarrow y=\frac{-b^2+4ac}{4a}\Rightarrow y=-\frac{(b^2-4ac)}{4a}\Rightarrow y=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$$所以，最大值或最小值的坐标为：$$(-\frac{b}{2a},-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a})$$

配方法

$\begin{array}{cc}f(x)& =a{x}^2+bx+c\\ & =a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\ & =a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2]+c-a(\frac{b}{2a}{)}^2\\ & =a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{4a}\\ & =a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ \end{array}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當$x=-\frac{b}{2a}$時，$f(x)$有最大或最小值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。

二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果$a>0$，则方程$y=\pm \sqrt{a{x}^2+bx+c}$描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线$y_p=a{x}^2+bx+c$的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果$a<0$，则方程$y=\pm \sqrt{a{x}^2+bx+c}$的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线$y_p=a{x}^2+bx+c$的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数

二元二次函数是以下形式的二次多项式：$$f(x,y)=A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+Exy+F$$这个函数描述了一个二次曲面。把$f(x,y)$设为零，则描述了曲面与平面$z=0$的交线，它是一条圆锥曲线。

最小值/最大值

如果$4AB-E^2<0$，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 $4AB-E^2>0$，则当$A>0$时函数具有最小值，当$A<0$具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 $(x_m,y_m)$ 取得，其中：$$x_m=-\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}$$$$y_m=-\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}$$如果$4AB-E^2=0$且$DE-2CB=2AD-CE\ne 0$，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果$4AB-E^2=0$且$DE-2CB=2AD-CE=0$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当$A>0$时取得最大值，$A<0$时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

参考资料

参考书目

• 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

參見

• 抛物线

外部連結

• Template:MathWorld