多值函数

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圖中的不是真正的函數，因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素b及c

多值函数（Template:Lang-en）為一數學名詞，是一種二元关系。其中，定义域$X$中的每一个元素都对应陪域$Y$中的至少一个元素。

此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许$X$的元素对应多于一个$Y$中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。

有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（Template:Lang）。

例子

• 每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是Template:Nowrap，0的平方根是0。
• 一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
• 複對數函數是多值函數。$\log (a+bi)$（$a$和$b$為實數）的值是$\log \sqrt{a^2+b^2}+i\arg (a+bi)+2\pi ni$，其中$n$為任意整數。 .
• 反三角函數為週期性的多值函数，例如

$\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{-3\pi }{4}\right)=\tan \left(\frac{(2n+1)\pi }{4}\right)=\cdots =1.$

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：Template:Pi/4, 5Template:Pi/4, −3Template:Pi/4等。若限制其tan x的定義域在Template:Nowrap，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在Template:Nowrap。這種限定區域下的值稱為Template:Le。

• 不定積分也可以視為是多值函数，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有Template:Le，例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

相關條目

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參考資料

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