除法

將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即Template:計算結果；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為Template:計算結果

数学中，尤其是在基本计算裏，除法（Template:Lang-en）可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为$1$，得出同比的被除数的值」。

例如：Template:計算結果，就好像Template:計算結果， $\{\begin{array}{c}6-3=3\\ 3-3=0\end{array}$，$6$被$3$減了兩次後，就變成了$0$。

如果

$a\times b=c$

而且$b$不等于零，那么

$a=c÷b$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（$a$）必須是整數，则称为带餘除法，$a\times b$与$c$相差的数值，称为餘數（$d$）。

$c÷b=a\dots d$

這也意味著

$c=a\times b+d$

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，$c÷b$写成$c/b$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為$\mathrm{div}$，尋找餘數的函數則為$\mathrm{mod}$。

在大部分的非英语语言中，$c:b$代表$c÷b$的比，讀做c比b；$c/b$則代表$c÷b$的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数$a$可以被自然数$b$整除，是指$b$是$a$的因數，且a是b的整数倍数，也就是$a$除以$b$没有餘数。

$a÷b=q\dots 0$

因數判別法可參照整除規則。

表示法

$b\mid a$表示$b$整除$a$，即$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。

举例

$15$可以被$5$整除，记作$5\mid 15$。

$20$不能被$6$整除（因为餘数为$2$），记作$6\nmid 20$。在$\mid$上加一条斜线即表示不整除。

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算Template:計算結果的過程可以表示為：

$1260257÷37$的演算過程

$\begin{array}{c}37)\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c}34061\\ 1260257\\ 111\\ 150\\ 148\\ 225\\ 222\\ 37\\ 37\\ 0\end{array}$

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算$3÷7$的近似值：

$\begin{array}{c}7|\underset{\_}{3.00000000000000000\dots }\\ 0.42857142857142857\dots \end{array}$

• 使用短除法計算$420$的質因數分解：

$\begin{array}{c}2|\underset{\_}{420}\\ 2|\underset{\_}{210}\\ 3|\underset{\_}{105}\\ 5|\underset{\_}{35}\\ 7\end{array}$

$420=2^2\times 3\times 5\times 7$

• 使用短除法計算$420,270$的最大公因數及最小公倍數：

$\begin{array}{c}2|\underset{\_}{420270}\\ 3|\underset{\_}{210135}\\ 5|\underset{\_}{7045}\\ 149\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\gcd (420,270)=2\times 3\times 5=30\\ \mathrm{lcm}(420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{array}$

多項式的除法

Template:Main 和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式$A$和非零多项式$B$，则存在唯一的多项式$Q$和$R$，满足：

$A=BQ+R$

而多项式$R$若非零多项式，則其冪次严格小于$B$的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式$P$除以一次多项式$X-a$得到的餘多项式，可以直接将$a$代入到多项式$P$中。$P$除以$X-a$的餘多项式是$P(a)$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算$X^3-12X^2-42$除以$X-3$，列式如下：

$\begin{array}{c}{X}^2-9X-27\\ X-3\overline{|X^3-12X^2+0X-42}\\ \underset{\_}{X^3-3X^2}\\ -9X^2+0X\\ \underset{\_}{-9X^2+27X}\\ -27X-42\\ \underset{\_}{-27X+81}\\ -123\end{array}$

因此，商式是$X^2-9X-27$，餘式是$-123$。

重要性質

通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

参见

• 筹算除法
• 同餘
• 余数
• 带餘除法