二階導數

二次函数的二階導數是常數。

微积分中，函數 $f$ 的二階導數（Template:Lang-en或Template:Lang）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用Template:Link-en：

$𝒂=\frac{\mathrm{d}𝒗}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2𝒙}{\mathrm{d}{t}^2},$

其中 $𝒂$ 為加速度，$𝒗$ 為速度，$t$ 為時間，$𝒙$ 為位置，而 $\mathrm{d}$ 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 $\frac{{\mathrm{d}}^2𝒙}{\mathrm{d}{t}^2}$ 是位置 $𝒙$ 對時間的二階導數。

繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（$\cup$）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（$\cap$）。

二階導數的冪法則

連續兩次用一階導數的Template:Link-en，則會推導出二階導數的冪法則，如下所示：

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left[x^n\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^n\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[n{x}^{n-1}\right]=n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

公式對任意實數 $n$ 成立。

記法

Template:Details 函數 $f$ 的二階導函數常記為 $f^{″}$，其於 $x$ 處取值為 $f^{″}(x)$。換言之，

$f^{″}=\left(f^{\prime }\right),$

其中 ${\displaystyle }$ 表示一階求導。若用Template:Link-en表示導數，則因變數 $y$ 關於自變數 $x$ 的二階導數記為

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}.$

此種寫法的理由是，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 表示對 $x$ 求導，從而求導兩次應寫成：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}.$

其他記法

如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。Template:註不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有：

$\begin{array}{cc}{y}^{″}(x)& =\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\\ & =\frac{(\mathrm{d}y{)}^{\prime }\cdot \mathrm{d}x-\mathrm{d}y\cdot (\mathrm{d}x{)}^{\prime }}{(\mathrm{d}x{)}^2}\\ & =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{d}y)\cdot \mathrm{d}x-\mathrm{d}y\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x}{(\mathrm{d}x{)}^2}\\ & =\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{x}^2}.\end{array}$

上式中，$y^{″}(x)$ 為二階導數，但 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 則不然。$\mathrm{d}u$ 表示微分算子施用於 $u$ 的結果，即 $\mathrm{d}(u)$，而 ${\mathrm{d}}^{2}u$ 表示微分算子疊代兩次的結果，即 $\mathrm{d}(\mathrm{d}(u))$。最後 $\mathrm{d}{u}^2$ 是先微分再平方，即 $(\mathrm{d}(u){)}^2$。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

例

考慮

$f(x)=x^3,$

運用冪法則，$f$ 的導數 $f^{\prime }$ 由下式給出：

$f^{\prime }(x)=3x^2.$

$f$ 的二階導數即是對導數 $f^{\prime }$ 再次求導的結果，由下式給出：

$f^{\prime \prime }(x)=6x.$

另一個例子，考慮正弦函數 $\sin$。有

${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x),$

而再次求導後，得到

${\sin }^{″}(x)={\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x).$

換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係

$f(x)=\sin (2x)$ 的圖像，其中 $x$ 的取值範圍是由 $-\pi /4$ 至 $5\pi /4$。當曲線向上彎時，切線為藍色。向下彎時則為綠。於拐點（即 $0,\pi /2,\pi$）處則為紅。

凹向

函數 $f$ 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（Template:Lang）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。

拐點

Template:Main 若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（Template:Lang）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 $f(x)=x^4$ 有 $f^{″}(0)=0$，但 $f$ 在實數系上為凸，無拐點。

二階導數檢驗

Template:Main 二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 $f$ 的驻点（即滿足 $f^{\prime }(x)=0$ 的點 $x$）是否為局部極大點或極小點。具體言之：

• 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極大值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，則 $f$ 於 $x$ 點取得局部極小值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)=0$，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

極限

二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出：

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}.$

以上極限稱為Template:Link-en。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成Template:Link-en的差商：

$\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=\frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}.$

故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 $f$ 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 $\mathrm{sgn}$，其定義為：

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{若 }x<0,\\ 0,& \text{若 }x=0,\\ 1,& \text{若 }x>0.\end{array}$

符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 $x=0$ 處，二階對稱導數存在：

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(0+h)-2\mathrm{sgn}(0)+\mathrm{sgn}(0-h)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)-2\cdot 0+\mathrm{sgn}(-h)}{h^2}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)+(-\mathrm{sgn}(h))}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h^2}=0.\end{array}$

二次近似

正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 $f$ 於某點的二次近似，是一個二次函数，與 $f$ 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 $f$ 於 $a$ 附近的二次近似可寫成：

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{″}(a)(x-a{)}^2.$

函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

本徵值與本徵函數

因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 $v^{″}=\lambda v$ 的函數解 $v$（本徵向量）與常數 $\lambda$（本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出Template:Link-en。

舉例，以閉區間 $[0,L]$ 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 $v(0)=v(L)=0$），則諸本徵值為 ${\lambda }_j=-\frac{j^2{\pi }^2}{L^2}$，對應本徵向量（亦稱本徵函數）$v_j$ 由

$v_j(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{j\pi x}{L}\right)$

給出。此處 $v^{\prime }{\text{'}}_j(x)={\lambda }_j{v}_j(x)$，$j$ 為任意正整數。

其他情況的解，見Template:Link-en。

高維推廣

黑塞方陣

Template:Main 二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$。對於三元函數 $f:{ℝ}^3\to ℝ$，二階偏導數包括

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2},$

以及混合偏導數

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}.$

還有其他次序的混合偏導數，如 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$，但由二階導數的對稱性，衹要 $f$ 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（Template:Lang-en或Template:Lang）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為Template:Link-en）。

拉普拉斯算子

Template:Main 另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Template:Lang或Template:Lang）。拉氏微分算子記作 ${\mathrm{\nabla }}^2$ 或 $\mathrm{\Delta }$。以三維情形為例，定義為

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

參見

• 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

延伸閱讀

紙本

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網上

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