凹函数

凹函数（Template:Lang-en）是指Template:LeTemplate:Notetag为凸集的一类函数。

定義

如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

$f(tx+(1-t)y)\ge tf(x)+(1-t)f(y).$

则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。

性質

如果一個可微函數$f$它的導數$f^{\prime }$在某區間是單調遞減的，$f$就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數$f$，它的二階導數$f^{″}(x)$是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數$f^{″}(x)$是負值，圖像就會是凹的。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果$f(x)$是二次可微的，那麼$f(x)$就是凹的若且唯若$f^{″}(x)$是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當$f(x)=-x^4$。 如果$f$是凹的也是可微的，那麼

$f(y)\le f(x)+f^{\prime }(x)[y-x]$

一個在$ℂ$的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于$ℂ$的x和y，有

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$

例子

• 函數$f(x)=-x^2$ 和 $f(x)=\sqrt{x}$都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
• 任何線性函數$f(x)=ax+b$既是凸函數也是凹函數。
• 函數$f(x)=\sin (x)$在區間$[0,\pi ]$是凹的。
• 函數$\log |B|$是一個凹函數，當中$|B|$是一個非负定矩陣的行列式。

参见

• 凸函数