差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（Template:Lang-en），是数学中的一个概念，将原函数 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)-f(x+b)$。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。 Template:微積分學

定义

差分分为前向差分和逆向差分。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数$f(x)$，如果在等距节点：

$x_k=x_0+kh,(k=0,1,...,n)$

$\mathrm{\Delta }f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)$

则称$\mathrm{\Delta }f(x)$，函数在每个小区间上的增量$y_{k+1}-y_k$为$f(x)$一阶差分。

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当$f(x)$是多项式时，前向差分为Delta算子（称$\mathrm{\Delta }$为差分算子），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数$f(x_k)$，如果：

$\mathrm{\nabla }f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1}).$

则称$\mathrm{\nabla }f(x_k)$为$f(x)$的一阶逆向差分。

差分的阶

一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

${\mathrm{\Delta }}^n[f](x)$为$f(x)$的$n$阶差分。

如果

${\mathrm{\Delta }}^n[f](x)$	$=\mathrm{\Delta }\{{\mathrm{\Delta }}^{n-1}[f](x)\}$
	$={\mathrm{\Delta }}^{n-1}[f](x+1)-{\mathrm{\Delta }}^{n-1}[f](x)$

根据数学归纳法，有

${\mathrm{\Delta }}^n[f](x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^{n-i}f(x+i)$

其中，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$为二项式系数。

特别的，有

${\mathrm{\Delta }}^2[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)$

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

• 如果C为常数，则有

$\mathrm{\Delta }C=0$

• 线性：如果 $a$ 和 $b$ 为常数，则有

$\mathrm{\Delta }(af+bg)=a\mathrm{\Delta }f+b\mathrm{\Delta }g$

• 乘法定则(此处步长$h\equiv 1$)：

$\mathrm{\Delta }(fg)=f\mathrm{\Delta }g+g\mathrm{\Delta }f+\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }g$

$\mathrm{\nabla }(fg)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f-\mathrm{\nabla }f\mathrm{\nabla }g$

• 除法定则：

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{1}{g}\det \left[\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }f& \mathrm{\nabla }g\\ f& g\end{array}\right]\det {\left[\begin{array}{cc}g& \mathrm{\nabla }g\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{1}{g}\det \left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f& \mathrm{\Delta }g\\ f& g\end{array}\right]\det {\left[\begin{array}{cc}g& \mathrm{\Delta }g\\ -1& 1\end{array}\right]}^{-1}$

或

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\nabla }f-f\mathrm{\nabla }g}{g\cdot (g-\mathrm{\nabla }g)}$

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\Delta }f-f\mathrm{\Delta }g}{g\cdot (g+\mathrm{\Delta }g)}$

• 级数：

$\sum _{n=a}^b\mathrm{\Delta }f(n)=f(b+1)-f(a)$

$\sum _{n=a}^b\mathrm{\nabla }f(n)=f(b)-f(a-1)$

牛頓級數

《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

當$x$值間隔為單位步長$1$時，有：

$\begin{array}{cc}f(x)& =f(a)+\frac{x-a}{1}[{\mathrm{\Delta }}^1[f](a)+\frac{x-a-1}{2}({\mathrm{\Delta }}^2[f](a)+\cdots )]\\ & =f(a)+\sum _{k=1}^n{\mathrm{\Delta }}^k[f](a)\prod _{i=1}^k\frac{[(x-a)-i+1]}{i}\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-a}{k}){\mathrm{\Delta }}^k[f](a)\\ \end{array}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})=\frac{(x{)}_k}{k!}(x{)}_k=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

是二項式係數，其中的$(x{)}_k$是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為$x^{\underset{\_}{k}}$)，空積$(x{)}_0$被定義為$1$。這裡的${\mathrm{\Delta }}_k\left[f\right](x)$是“前向差分”的特定情況，即間距$h=1$。

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x₀（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

$\begin{array}{cc}\begin{array}{ccccc}x& {\mathrm{\Delta }}^0& {\mathrm{\Delta }}^1& {\mathrm{\Delta }}^2& {\mathrm{\Delta }}^3\\ 1& \underset{\_}{1}& & & \\ & & \underset{\_}{3}& & \\ 2& 4& & \underset{\_}{2}& \\ & & 5& & \underset{\_}{0}\\ 3& 9& & 2& \\ & & 7& & \\ 4& 16& & & \end{array}& \begin{array}{cc}f(x)& ={\mathrm{\Delta }}^0+{\mathrm{\Delta }}^1\frac{(x-x_0)}{1!}+{\mathrm{\Delta }}^2\frac{(x-x_0)(x-x_0-1)}{2!}(x_0=1)\\ & =1+3\cdot \frac{x-1}{1}+2\cdot \frac{(x-1)(x-2)}{2}\\ & =1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\ & =x^2\end{array}\end{array}$

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

$\begin{array}{cc}f(x)& =f(a)+\frac{x-a}{h}[{\mathrm{\Delta }}_h^1[f](a)+\frac{x-a-h}{2h}({\mathrm{\Delta }}_h^2[f](a)+\cdots )]\\ & =f(a)+\sum _{k=1}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^k[f](a)}{k!h^k}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\ & =f(a)+\sum _{k=1}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^k[f](a)}{k!}\prod _{i=0}^{k-1}(\frac{x-a}{h}-i)\end{array}$

在最終公式中h^k被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参见

• 递归
• 招差术
• 遞迴關係式
• 拉格朗日多项式
• 吉尔布雷斯猜想
• 牛顿多项式
• 牛顿级数表
• 泰勒级数
• 时标微积分
• 分部求和法

参考文献

• Template:CitationTemplate:Dead link.