狄利克雷边界条件

在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。

例子

常微分方程

在常微分方程情况下，如

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

在区间$[0,1]$， 狄利克雷边界条件有如下形式：

$y(0)={\alpha }_1$

$y(1)={\alpha }_2$

其中${\alpha }_1$和${\alpha }_2$是给定的数值。

偏微分方程

一个区域$\mathrm{\Omega }\subset R^n,$上的偏微分方程，如

$\mathrm{\Delta }y+y=0$

其中$\mathrm{\Delta }$表示拉普拉斯算子，狄利克雷边界条件有如下的形式

$y(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega }$

其中$f$是边界$\partial \mathrm{\Omega }$上给定的已知函数。

工程应用

在热力学中，第一类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。”

半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。数学描述为：$T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts$

参见

• 诺伊曼边界条件