除法定则

Template:微積分学 除法定则或商定則（Template:Lang-en）是数学中关于两个函数的商的导数的一个计算定则。

若已知两个可導函数g,h及其导数g',h'，且h(x)≠0，则它们的商

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

的导数为：

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

例子

$\frac{4x-2}{x^2+1}$的导数为：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{4x-2}{x^2+1}\right)$	$=\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}$
	$=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}$

$f(x)=\frac{2x^2}{x^3}$的导数为：

$f^{\prime }(x)$	$=\frac{(4x\cdot x^3)-(2x^2\cdot 3x^2)}{{\left(x^3\right)}^2}$
	$=\frac{4x^4-6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

证明

从牛顿差商推出

设$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$，$h(x)\ne 0$，且$g$和$h$均可导。

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{\mathrm{\Delta }x}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{h(x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))-g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}}{h(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}$

$=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)h(x)-g(x)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\left(\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right)}{h(x)h(\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(x+\mathrm{\Delta }x))}$

$=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

从乘积法则推出

假设$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$。

那么$g(x)=f(x)h(x)$

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}$

从复合函数求导法则推出

考虑恒等式，v≠0

$\frac{u}{v}=\frac{1}{4}[{(u+\frac{1}{v})}^2-{(u-\frac{1}{v})}^2]$

那么：

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}[{(u+\frac{1}{v})}^2-{(u-\frac{1}{v})}^2]$

于是：

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{1}{4}[2(u+\frac{1}{v})(\frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx})-2(u-\frac{1}{v})(\frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx})]$

展开，得：

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{1}{4}[\frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^2}\frac{dv}{dx}]$

最后，把分子和分母同除以4，便得：

$\frac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\frac{[v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}]}{v^2}$

参见

• 乘法定则
• 鏈式法則