审敛法

Template:ScienceNavigation 在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。

判别法列表

通项极限判别法

如果序列通项的极限不为零或无定义，即$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\ne 0$，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。

比值审敛法（检比法）

假设对任何的$n$，$a_n>0$。如果存在$r$使得：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r$

如果$r<1$，那么级数绝对收敛。如果$r>1$，那么级数发散。如果$r=1$，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。

高斯判别法

设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）$a_n>0$。倘若其相邻项比值$\frac{a_n}{a_{n+1}}$可以被表示为：

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda +\frac{\mu }{n}+\frac{{\theta }_n}{n^2}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常数，而${\theta }_n$是一个有界的序列，那么

• 当$\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$时，级数收敛；
• 当$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \le 1$时，级数发散。

根值审敛法（检根法）

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}$

其中$\mathrm{lim\; sup}$表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。

如果$r<1$，级数绝对收敛。如果$r>1$，级数发散。如果$r=1$，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。

积分判别法

级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令$f(n)=a_n$为一正项单调递减函数。如果：

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty }$

那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。

比較審斂法

如果$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$是一個絕對收斂級數且對於足夠大的$n$，有$|a_n|\le |b_n|$，那麼級數$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$也絕對收斂。

極限比較審斂法

如果$\left\{a_n\right\}\ge 0,\left\{b_n\right\}>0$，并且极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$存在非零，那么$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛当且仅当$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$收敛。

交错级数判别法

具有以下形式的级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$。其中所有的$a_n$非负，被称作交错级数。如果当$n$趋于无穷时，数列$a_n$的极限存在且等于$0$，并且每个$a_n$小于或等于$a_{n-1}$（即数列$a_n$是单调递减的），那么级数收敛。如果$L$是级数的和$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=L$那么部分和$S_k=\sum _{n=0}^k(-1{)}^n{a}_n$逼近$L$有截断误差$|S_k-L|\le |S_k-S_{k-1}|=a_k$。

阿贝尔判别法

给定两个实数项数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，如果数列满足$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛，$\{b_n\}$是单调且有界的，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

参阅

• 狄利克雷判别法
• 拉比判别法

外部链接

• Flowchart for choosing convergence testTemplate:Wayback
• Convergence of infinite seriesTemplate:Wayback