交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

其中所有的a_n 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_n-1（即，数列a_n是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=L$

那么部分和

$S_k=\sum _{n=0}^k(-1{)}^n{a}_n$

逼近L有截断误差

$|S_k-L|\le |S_k-S_{k-1}|=a_k$

证明

我们假设级数具有形式$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$．当$n$趋于无穷时，数列$a_n$的极限等于0，并且每个 $a_n$小于或等于$a_{n-1}$（即$a_n$是单调递减数列）．

收敛性证明

给定数列前 $(2n+1)$ 项的部分和 $S_{2n+1}=a_0+\left(-a_1+a_2\right)+\left(-a_3+a_4\right)+\dots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)-a_{2n+1}$．由于每个括号内的和非正，并且 $a_{2n+1}\ge 0$ ，那么前 $(2n+1)$ 项的部分和不大于 $a_0$.

并且每个部分和可写做 $S_{2n+1}=\left(a_0-a_1\right)+\left(a_2-a_3\right)+\dots +\left(a_{2n}-a_{2n+1}\right)$．每个括号内的和非负．因此，级数 $S_{2n+1}$ 单调递增：对任何 $n\in N$ 均有：$S_{2n+1}\le S_{2n+3}$.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 $s$ 使得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n+1}=s$.

由于 $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ 并且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ ，那么 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=s$．给定数列的和为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n+1}=s$ ，其中 $s$ 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中，我们发现$S_{2n+1}$是单调递增的．由于$S_{2n}=a_0+(-a_1+a_2)+\dots +(-a_{2n-1}+a_{2n})$，并且括号中的每一项是非正的，这样可知$S_{2n}$是单调递减的．由先前的论述，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=L$，因此$S_{2n}\ge L$．类似的，由于$S_{2n+1}$是单调递增且收敛到$L$，我们有$S_{2n+1}\le L$．因此我们有$S_{2n+1}\le L\le S_{2n}$对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有$|L-S_k|=L-S_k\le S_{k+1}-S_k=a_{k+1}\le a_k$，而如果k是偶数我们有$|L-S_k|=S_k-L\le S_k-S_{k-1}=a_k$．

参阅

• 狄利克雷判别法

图书资料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3