高斯判别法

高斯判别法是正项级数敛散性的一种判别方法，方法是将级数相邻项的比（$\frac{a_n}{a_{n+1}}$）写成$\frac{1}{n}$的线性函数和余项（与有界量相乘的$\frac{1}{n^2}$）之和，分析各系数来判断级数收敛与否，可以视作达朗贝尔判别法、拉阿伯判别法和贝特朗判别法的推论。 Template:ScienceNavigation

定理

设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）$a_n>0$。倘若其相邻项比值$\frac{a_n}{a_{n+1}}$可以被表示为：

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda +\frac{\mu }{n}+\frac{{\theta }_n}{n^2}$

其中$\lambda$和$\mu$都是常数，而${\theta }_n$是一个有界的序列，那么 ：

• 当 $\lambda >1$或$\lambda =1,\mu >1$时，级数收敛；
• 当$\lambda <1$或$\lambda =1,\mu \le 1$时，级数发散。

证明：

$\lambda \ne 1$时，因$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\lambda }$，可用达朗贝尔判别法判别； $\lambda =1$而$\mu \ne 1$时，因$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=\mu$，可用拉阿伯判别法判别； $\lambda =\mu =1$时，因$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (\frac{n^2{a}_n}{a_{n+1}}-n^2-n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln n}{n}{\theta }_n=0$，依据贝特朗判别法，级数发散。