極限比較審斂法

Template:ScienceNavigation 極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。

描述

假设存在两个级数 $Σ_{n} a_{n}$ 与 $Σ_{n} b_{n}$ ，且对于任意 $n$ 都有 $a_{n}, b_{n} \geq 0$ 。

如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$ （ $0 < c < \infty$ ），那么两级数同时收敛或发散。

对 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$ ，我们知道对于任意 $ε > 0$ 都存在一正整数 $n_{0}$ 使得当 $n \geq n_{0}$ 时有 $| \frac{a_{n}}{b_{n}} - c | < ε$ ，等价于

- ε < \frac{a_{n}}{b_{n}} - c < ε

c - ε < \frac{a_{n}}{b_{n}} < c + ε

(c - ε) b_{n} < a_{n} < (c + ε) b_{n}

由于 $c > 0$ ，我们可以让 $ε$ 足够小使得 $c - ε$ 为正。因此 $b_{n} < \frac{1}{c - ε} a_{n}$ ，根据比较审敛法，如果 $\sum_{n} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n} b_{n}$ 同样收敛。

类似地， $a_{n} < (c + ε) b_{n}$ ，如果 $\sum_{n} b_{n}$ 收敛，根据比较审敛法， $\sum_{n} a_{n}$ 亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

判断 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 2 n}$ 是否收敛。我们将其与收敛级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ 进行比较。

由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} + 2 n} \frac{n^{2}}{1} = 1 > 0$ ，我们可以得出原级数收敛。

Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 Template:Wayback
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