积分判别法

积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当$f(x)$非负递减时，級數$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$收歛当且仅当積分$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。

证明

考虑如下积分

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx$

注意$f(x)$单调递减，因此有：

$f(n+1)\le \underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx\le f(n)$

进一步地，考虑如下求和：

$\sum _{n=1}^{k}f(n+1)\le \sum _{n=1}^k\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=1}^{k}f(n)$

中间项的和为：

$\sum _{n=1}^k\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx=\underset{1}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx$

对上述不等式取极限$k\to \mathrm{\infty }$，有：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n+1)\le \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

因此，若积分$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$收敛，则无穷级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$收敛；若积分发散，则此级数发散。

例子

调和级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$是发散的，因为它的原函数是自然对数：

$\underset{1}{\overset{M}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^M=\ln M\to \mathrm{\infty }$，当$M\to \mathrm{\infty }$时。

而级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{1+\epsilon }}$则对所有的ε > 0都是收敛的，因为：

$\underset{1}{\overset{M}{\int }}\frac{1}{x^{1+\epsilon }}dx=-\frac{1}{\epsilon x^{\epsilon }}{|}_1^M=\frac{1}{\epsilon }(1-\frac{1}{M^{\epsilon }})\le \frac{1}{\epsilon }$，对于所有$M\ge 1.$

參考

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073