复合函数

复合函数（Template:Lang-en），又稱作合成函數，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 Template:Math 和 Template:Math 可以复合，得到从 Template:Math 中的 Template:Math 映射到 Template:Math 中 Template:Math 的函数。直观来说，如果 Template:Math 是 Template:Math 的函数，Template:Math 是 Template:Math 的函数，那么 Template:Math 是 Template:Math 的函数，得到的复合函数记作 Template:Math，定义为对 Template:Math 中的所有 Template:Math，Template:Math。 直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。

函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。 复合函数还有一些其他性质。

定義

考慮到函數的值域跟定义域，要簡單的以“計算式”，如把所有 $(x,x+1)$ 和 $(y,\sqrt{y})$ 的有序对頭接尾的這樣直觀定義“合成”是會遇到問題的，像是把 $x$ 取為实数，這樣把 $x+1$ 很自然的對接到 $y$ 然後開根號成 $\sqrt{y}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的“合成函數”的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備“合成”的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

设我們有兩個函數 $f$ 和 $g$ ，兩者的定義域分別是 $D_f$ 和 $D_g$，值域分別是 $I_f$ 和 $I_g$。如果 $I_f\cap D_g\ne \varnothing$ ，那我們定義合成函數為

$g\circ f:=\{(x,z)|(\mathrm{\exists }y\in I_f\cap D_g)[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}$

直觀上來說，如果

$f$

的“輸出範圍”是有一部分在

$g$

的“輸入範圍”，那我們就可以定義“先作用

$f$

再作用

$g$

”的函數，但這個“新合成”的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些

$x$

而已）。注意到每個

$x$

只會有一個輸出值

$y$

，而每個

$y$

只會有一個輸出值

$z$

，所以這樣“先作用

$f$

再作用

$g$

”的話，每個

$x$

只會有一個輸出值

$z$

而已，這確保了

$g\circ f$

符合我們對函數的要求。

绝对值函数与三次函數，两个实函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律

当 $g\circ f=f\circ g$ 时（注意這是集合的相等！），我们会说 $g$ 和 $f$ 是可交换的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

例子

Template:Math，Template:Math 与 Template:Math 的复合。例如，Template:Math.

两个函数复合的具体例子

• 有限集上的函数复合：若 Template:Math，Template:Math，则 Template:Math.
• 无限集上的函数复合：若 Template:Math （其中 Template:Math 是所有实数的集合）表达式为 Template:Math，而 Template:Math 表达式为 Template:Math，则：

Template:Math，且

Template:Math.

• 如果一架飞机在 Template:Math 时刻的海拔为 Template:Math，而海拔 Template:Math 处的氧气浓度为 Template:Math，那么 Template:Math 描述了 Template:Math 时刻飞机周围的氧气浓度。

复合幺半群

假设我们有两个（或多个）函数 Template:Math Template:Math，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 Template:Math。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 Template:Math 的集合称作 Template:Math 上的全变换半群或对称半群。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。）

把△EFA变换为△ATB的相似性是位似 Template:Math 和以 Template:Math 为中心的旋转 Template:Math 的复合。例如，Template:Math 在旋转R下的像是 Template:Math，可以写作Template:Nowrap。而 Template:Nowrap 表示映射 Template:Math 把 Template:Math 变换到了 Template:Math。因此，Template:Nowrap。

如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凱萊定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。

所有双射函数 Template:Math（称作置-{}-換）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。

在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。

函数幂

如果 Template:Math，则 Template:Math 有可能可以与自身复合；这有时候记作 Template:Math。即：

Template:Math

Template:Math

Template:Math

更一般地，对于 Template:Math 的自然数，Template:Math 次函数冪可以归纳定义为 Template:Math. 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。

• 习惯上，Template:Math 定义为 Template:Math 定义域上的恒同映射，Template:Math.
• 如果 Template:Math，而 Template:Math 存在反函數 Template:Math，那么对于 Template:Math，负函数幂 Template:Math 定义为反函数的幂：Template:Math.

注意：若 Template:Math 在一个环内取值（特别是对于实值或复值Template:Math），存在混淆的风险，因为 Template:Math 也可以表示 Template:Math 的 Template:Math 次乘积，比如 Template:Math. 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 Template:Math 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，Template:Math.

在一些情况下，对于给定函数 Template:Math，方程 Template:Math 只有一个解 Template:Math 的时候，该函数可以定义为 Template:Math 的函数平方根，记作 Template:Math.

更一般地，当 Template:Math 只有唯一解时（自然数 Template:Math），Template:Math可以定义为 Template:Math.

在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。

为避免混淆，有些数学家把 Template:Mvar 的 n 次迭代写作 Template:Math.

其他记法

许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 Template:Math 写作 Template:Math.

在20世纪中叶，一些数学家认为用“Template:Math”来表示“首先施加 Template:Math，然后施加 Template:Math”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“Template:Math”来代表“Template:Math”，用“Template:Math”来代表“Template:Math”。 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 Template:Math 为行向量，Template:Math 和 Template:Math 表示矩阵，而复合是通过矩陣乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“Template:Math”，表示先施加 Template:Math 再施加 Template:Math，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“Template:Math”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 Template:Math 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。 由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。

复合算子

给定函数 Template:Math，复合算子 Template:Math 定义为使得

$C_{g}f=f\circ g.$

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

多元函数

对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 Template:Math 的部分参数 Template:Math 由 Template:Math 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 Template:Math

$f{|}_{x_i=g}=f(x_1,\dots ,x_{i-1},g(x_1,x_2,\dots ,x_n),x_{i+1},\dots ,x_n).$

当 Template:Math 是一个常数 Template:Math 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。

$f{|}_{x_i=b}=f(x_1,\dots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\dots ,x_n).$

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 Template:Math，一个 Template:Math 元函数，Template:Math 个 Template:Math 元函数 Template:Math，Template:Math 与 Template:Math 的复合是 Template:Math 元函数

$h(x_1,\dots ,x_m)=f(g_1(x_1,\dots ,x_m),\dots ,g_n(x_1,\dots ,x_m))$.

这有时称作 f 与 Template:Math 的广义复合。 在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，Template:Math 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。

某些基本集 X 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 n的函数 f 是保持 g 的同态函数（g 的元数为 m），则可以说 f与 g 是可交换的，反之亦然。例如：

$f(g(a_{11},\dots ,a_{1m}),\dots ,g(a_{n1},\dots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,f(a_{1m},\dots ,a_{nm}))$.

一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。

推广

复合可以推广到任意二元关系。若 Template:Math 与 Template:Math 是两个二元关系，则它们的复合 Template:Math 是定义为 Template:Math. 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 Template:Math 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

排版

复合算子 Template:Math 编码为Template:Unichar。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。

参见

• 组合子逻辑
• Template:Le
• 迭代函数
• Template:Le
• 流
• 高阶函数
• Template:Le，函数复合的图形方法
• Λ演算
• Template:Le
• Template:Le，复合运算的形式公理化
• 随机变量函数

外部链接

• Template:Springer
• "Composition of Functions Template:Wayback" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.