有序对

在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素$a$和第二个元素$b$的有序对通常写为$(a,b)$。

符号$(a,b)$也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号$⟨a,b⟩$。

一般性

设$(a_1,b_1)$和$(a_2,b_2)$是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：

$(a_1,b_1)=(a_2,b_2)\leftrightarrow (a_1=a_2\wedge b_1=b_2)$

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组$(a,b,c)$可以定义为$(a,(b,c))$，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

有序对的集合论定义

诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：

$(x,y){\equiv }_{def}\{\{\{x\},\mathrm{\varnothing }\},\{\{y\}\}\}$

他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

标准Kuratowski定义

在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对：

$(a,b{)}_K{\equiv }_{def}\{\{a\},\{a,b\}\}$

陈述“$x$是有序对$p$的第一个元素”可以公式化为

$\mathrm{\forall }Y\in p:x\in Y$

而陳述“$x$是$p$的第二个元素”为

$(\mathrm{\exists }Y\in p:x\in Y)\wedge (\mathrm{\forall }{Y}_1\in p,\mathrm{\forall }{Y}_2\in p:Y_1\ne Y_2\to (x\notin Y_1\vee x\notin Y_2))$

注意这个定义对于有序对$p=(x,x)=\{\{x\},\{x,x\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\}$仍是有效的；在这种情况下陈述（$\mathrm{\forall }{Y}_1\in p,\mathrm{\forall }{Y}_2\in p:Y_1\ne Y_2\to (x\in ̸Y_1\vee x\in ̸Y_2)$）顯然是真的，因为不会有$Y_1\ne Y_2$的情况。

变体定义

上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果$(a,b)=(x,y)$则$a=x$且$b=y$）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

1. $(a,b{)}_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\}$
2. $(a,b{)}_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\}$
3. $(a,b{)}_{01}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}$

“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一個缺點，它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合$\{0,1\}=\{\{\},\{0\}\}$，这将意味着2是对$(0,0{)}_{\text{short}}$。

证明有序对的特征性质

Kuratowski对： 证明：$(a,b{)}_K=(c,d{)}_K$当且仅当$a=c$且$b=d$。

僅當：

如果$a=b$，则$(a,b{)}_K=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\}\}$，且$(c,d{)}_K=\{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{a\}\}$。所以$\{c\}=\{a\}=\{c,d\}$，或$c=d=a=b$。

如果$a\ne b$，则$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$。

如果$\{c,d\}=\{a\}$，则$c=d=a$或$\{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}$。但這樣$\{\{a\},\{a,b\}\}$就會等於$\{\{a\}\}$，繼而$b=a$，跟先前的假設矛盾。

如果$\{c\}=\{a,b\}$，则$a=b=c$，这矛盾于$a\ne b$。所以$\{c\}=\{a\}$，即$c=a$，且$\{c,d\}=\{a,b\}$。

并且如果$d=a$，则$\{c,d\}=\{a,a\}=\{a\}\ne \{a,b\}$。所以。

所以同樣有$a=c$且$b=d$。

當：

反过来，如果$a=c$并且$b=d$，则顯然$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$。所以$(a,b{)}_K=(c,d{)}_K$。

逆对： $(a,b{)}_{\text{reverse}}=\{\{b\},\{a,b\}\}=\{\{b\},\{b,a\}\}=(b,a{)}_K$。

如果$(a,b{)}_{\text{reverse}}=(c,d{)}_{\text{reverse}}$，则$(b,a{)}_K=(d,c{)}_K$。所以$b=d$且$a=c$。

反过来，如果$a=c$和$b=d$，则顯然$\{\{b\},\{a,b\}\}=\{\{d\},\{c,d\}\}$。所以$(a,b{)}_{\text{reverse}}=(c,d{)}_{\text{reverse}}$。

Quine-Rosser定义

Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设$\mathbb{N}$是自然数的集合，$x\setminus \mathbb{N}$是$\mathbb{N}$在$x$內的相對差集，並定義：

$\phi (x)=(x\setminus \mathbb{N})\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb{N})\}$

$\phi (x)$包含在$x$中所有自然数的后继，和$x$中的所有非数成员。特别是，$\phi (x)$不包含数0，所以对于任何集合$A$和$B$，$\varphi (A)=\{0\}\cup \varphi (B)$。

以下是有序对$(A,B)$的定义：

$(A,B)=\{\phi (a):a\in A\}\cup \{\phi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.$

提取这个对中那些不包含0的所有元素，然後再還原$\phi$的作用，就得出了$A$。类似的，$B$可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一個函数（定义为有序对的集合），有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。

Morse定义

Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为

$(x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))$

这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且

$s(x)=\{\mathrm{\varnothing }\}\cup \{\{t\}|t\in x\}$

這便允許了定義以真類為投影的有序對。

参见

• 笛卡儿积
• 二元关系