Z轉換

在數學和信号处理中，Z轉換（Template:Lang-en）把離散的實數或複數时间訊號從時域轉為复頻域（z域或z平面）表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

历史

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年Template:Le用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的Template:維基數據鏈接和查德称其为“Z变换”。

Template:維基數據鏈接后来发展并推广了改进或高级Z变换。

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。 从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

定義

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换

双边Z轉換把离散時域信号$x[n]$轉為形式幂级数$X(z)$。

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}$

當中 $n$ 是整數，$z$ 是複數变量，其表示方式為

$z=A{e}^{j\varphi }=A(\cos \varphi +j\sin \varphi )$

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。

单边Z变换

另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z⁻¹ 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理学定义

地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z⁻¹ 的。例如，Template:維基數據鏈接和Template:維基數據鏈接都使用这个惯例。地球物理定义为：

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^n.$

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。 因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换

逆Z变换为

$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

$x[n]=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .$

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

$ROC=\{z:|\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}|<\mathrm{\infty }\}$

例1（收敛域不存在）

令 $x[n]=(0.5{)}^n$。在区间 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$上展开 $x[n]$ 成为

$x[n]=\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^2,0.5^3,\cdots \}=\{\cdots ,2^3,2^2,2,1,0.5,0.5^2,0.5^3,\cdots \}.$

观察上面的和

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}\to \mathrm{\infty }.$

因此，没有一个 $z$ 值可以满足这个条件。

例2（因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示（內圈者）

令 $x[n]=0.5^{n}u[n]$（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

$x[n]=\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^2,0.5^3,\cdots \}.$

观察这个和

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}0.5^n{z}^{-n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{0.5}{z}\right)}^n=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}.$

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z⁻¹| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。Template:Clear

例3（非因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示

令 $x[n]=-(0.5{)}^{n}u[-n-1]$（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

$x[n]=\{\cdots ,-(0.5{)}^{-3},-(0.5{)}^{-2},-(0.5{)}^{-1},0,0,0,0,\cdots \}.$

观察这个和

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}0.5^n{z}^{-n}=-\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{0.5}\right)}^m=1-\frac{1}{1-0.5^{-1}z}=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5⁻¹z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。 Template:Clear

实例结论

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，$x[n]$ 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的Template:Le表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 $|z|=0$ 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z| < 0.75

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

$x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]$

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)ⁿu[n] 和一个非因果项 −(0.75)ⁿu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 $x[n]$），则可以确定一个唯一的 $x[n]$ 满足下列：

• 稳定性
• 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 $x[n]$。

性质

Z变换性质

	时域	Z域	证明	收敛域
记法	$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)=𝒵\{x[n]\}$		$r_2<|z|<r_1$
線性	$a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n]$	$a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)$	$\begin{array}{cc}X(z)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1(n)+a_2{x}_2(n))z^{-n}\\ & =a_1\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(n)z^{-n}+a_2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n)z^{-n}\\ & =a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z)\end{array}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀	$x_K[n]=\{\begin{array}{cc}x[r],& n=rK\\ 0,& n=rK\end{array}$ r: 整数	$X(z^K)$	$\begin{array}{cc}{X}_K(z)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_K(n)z^{-n}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(r)z^{-rK}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(r)(z^K{)}^{-r}\\ & =X(z^K)\end{array}$	$R^{\frac{1}{K}}$
降采样	$x[nK]$	$\frac{1}{K}\sum _{p=0}^{K-1}X(z^{\frac{1}{K}}\cdot e^{-i\frac{2\pi }{K}p})$	ohio-state.edu Template:Wayback  或  ee.ic.ac.uk Template:Wayback
时移	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	$\begin{array}{cc}Z\{x[n-k]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\\ & =\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-(j+k)}& & j=n-k\\ & =\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}{z}^{-k}\\ & =z^{-k}\sum _{j=-k}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}\\ & =z^{-k}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}x[j]z^{-j}& & x[\beta ]=0,\beta <0\\ & =z^{-k}X(z)\end{array}$	ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 Template:Nowrap
Z域的 尺度性质	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	$\begin{array}{cc}𝒵\{a^{n}x[n]\}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{n}x(n)z^{-n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(a^{-1}z{)}^{-n}\\ & =X(a^{-1}z)\end{array}$	$|a|r_2<|z|<|a|r_1$
时间反转	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x(-n)\}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(-n)z^{-n}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m)z^m\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(m){(z^{-1})}^{-m}\\ & =X(z^{-1})\\ \end{array}$	$\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2}$
共轭复数	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x^{*}(n)\}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{*}(n)z^{-n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{[x(n)(z^{*}{)}^{-n}]}^{*}\\ & ={[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(z^{*}{)}^{-n}]}^{*}\\ & =X^{*}(z^{*})\end{array}$
实部	$\mathrm{Re}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2}[X(z)+X^{*}(z^{*})]$
虚部	$\mathrm{Im}\{x[n]\}$	$\frac{1}{2j}[X(z)-X^{*}(z^{*})]$
微分	$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$	$\begin{array}{cc}𝒵\{nx(n)\}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n}\\ & =z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}nx(n)z^{-n-1}\\ & =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)(-n{z}^{-n-1})\\ & =-z\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})\\ & =-z\frac{dX(z)}{dz}\end{array}$
卷积	$x_1[n]*x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$	$\begin{array}{cc}𝒵\{x_1(n)*x_2(n)\}& =𝒵\{\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)\}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}\\ & =\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n-l)z^{-n}]\\ & =[\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1(l)z^{-l}][\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2(n)z^{-n}]\\ & =X_1(z)X_2(z)\end{array}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关	$r_{x_1,x_2}=x_1^{*}[-n]*x_2[n]$	$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^{*}(\frac{1}{z^{*}})X_2(z)$		包含 $X_1(\frac{1}{z^{*}})$ 与 $X_2(z)$ 的ROC的交集
一阶差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-z^{-1})X(z)$		包含 X1(z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集
累积	$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$	$\begin{array}{cc}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]z^{-n}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x[n]+\cdots +x[-\mathrm{\infty }])z^{-n}\\ & =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots )\\ & =X[z]\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-j}\\ & =X[z]\frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$
乘法	$x_1[n]x_2[n]$	$\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v$		-

帕塞瓦尔定理

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]x_2^{*}[n]=\frac{1}{j2\pi }{\oint }_C{X}_1(v)X_2^{*}(\frac{1}{v^{*}})v^{-1}\mathrm{d}v$

初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么

$x[0]=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }X(z).$

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则

$x[\mathrm{\infty }]=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)X(z).$

常见的Z变换对表

这里：

$u:n\mapsto u[n]=\{\begin{array}{cc}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$

是单位阶跃函数而

$\delta :n\mapsto \delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

	信号，$x[n]$	Z变换，$X(z)$	ROC
1	$\delta [n]$	1	所有 z
2	$\delta [n-n_0]$	$z^{-n_0}$	$z\ne 0$
3	$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|>1$
4	$e^{-\alpha n}u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-\alpha }{z}^{-1}}$	$|z|>e^{-\alpha }$
5	$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z|<1$
6	$nu[n]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|>1$
7	$-nu[-n-1]$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$|z|<1$
8	$n^{2}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|>1$
9	$-n^{2}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$	$|z|<1$
10	$n^{3}u[n]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|>1$
11	$-n^{3}u[-n-1]$	$\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^4}$	$|z|<1$
12	$a^{n}u[n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
13	$-a^{n}u[-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
14	$n{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
15	$-n{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
16	$n^2{a}^{n}u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|>|a|$
17	$-n^2{a}^{n}u[-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}(1+a{z}^{-1})}{(1-a{z}^{-1}{)}^3}$	$|z|<|a|$
18	$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
19	$\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{z^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
20	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$
21	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)u[n]$	$\frac{a{z}^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e^jω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的Template:Le，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

$\underset{\text{DTFT}}{\underbrace{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{x[n]}{\overbrace{x(nT)}}{e}^{-j2\pi fnT}}}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-k/T).$

若T的單位是秒，$f$的單位即為赫兹。比較兩個數列可得 $\omega =2\pi fT$ 為Template:Link-en，單位是radians per sample。數值ω=2π對應$f=\frac{1}{T}$ Hz. ，而且在替換 $f=\frac{\omega }{2\pi T},$後，  Template:EquationNote可以表示為傅里叶变换X(•):

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\omega n}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{X\left(\frac{\omega -2\pi k}{2\pi T}\right)}{\underbrace{X(\frac{\omega }{2\pi T}-\frac{k}{T})}}.$

若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）

和拉氏变換的關係

双线性变换

双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

$s=\frac{2}{T}\frac{(z-1)}{(z+1)}$

將一個拉氏域的函數$H(s)$轉換為Z域下的$H(z)$，或是

$z=\frac{2+sT}{2-sT}$

從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括jΩ軸。

线性常系数差分方程

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

$\sum _{p=0}^{N}y[n-p]{\alpha }_p=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]{\beta }_q$

上面等式两边可以同时除以 α₀，如果非零，正规化 α₀ = 1，LCCD方程可以写成

$y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]{\beta }_q-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]{\alpha }_p.$

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。

传递函数

对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

$Y(z)\sum _{p=0}^N{z}^{-p}{\alpha }_p=X(z)\sum _{q=0}^M{z}^{-q}{\beta }_q$

整理结果

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum _{q=0}^M{z}^{-q}{\beta }_q}{\sum _{p=0}^N{z}^{-p}{\alpha }_p}=\frac{{\beta }_0+z^{-1}{\beta }_1+z^{-2}{\beta }_2+\cdots +z^{-M}{\beta }_M}{{\alpha }_0+z^{-1}{\alpha }_1+z^{-2}{\alpha }_2+\cdots +z^{-N}{\alpha }_N}.$

零点和极点

由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

$H(z)=\frac{(1-q_1{z}^{-1})(1-q_2{z}^{-1})\cdots (1-q_M{z}^{-1})}{(1-p_1{z}^{-1})(1-p_2{z}^{-1})\cdots (1-p_N{z}^{-1})}$

其中 q_k 为 k 阶零点，p_k 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为Template:Le。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

输出响应

如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 $\frac{Y(z)}{z}$ 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

参见

• 高级Z变换
• 双线性变换
• 差分方程（遞迴關係式）
• 离散卷积
• 离散时间傅里叶变换
• 有限脉冲响应
• 形式幂级数
• 拉普拉斯变换
• 洛朗级数
• 概率母函数
• 星标变换
• Template:Le
• Template:Le

延伸阅读

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接

• Template:Springer
• Z-Transform table of some common Laplace transforms Template:Wayback
• Mathworld's entry on the Z-transform Template:Wayback
• Z-Transform threads in Comp.DSP Template:Wayback
• Z-Transform Module by John H. Mathews
• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform Template:Wayback