拉馬努金求和

Template:Distinguish 拉馬努金求和（Template:Lang-en）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。

求和法

拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得：

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{2}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f(n-1)+\frac{1}{2}f\left(n\right)\\ =& \frac{1}{2}[f\left(0\right)+f\left(n\right)]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\ =& \underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^p\frac{B_{k+1}}{(k+1)!}[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)]+R_p\end{array}$

拉馬努金寫道：當p趨近於無限大，

$\sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)$，

其中C是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R趨近於0，而x趨近於無限大；當一函數 f(x) 在x = 0不發散：

$C(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0)$

其中拉馬努金假設$a=0$。若設$a=\mathrm{\infty }$，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散，可得：

$C(a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}f(t)dt+\frac{1}{2}f(1)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(1)$

C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。

發散級數的和

下文中，$(\mathrm{\Re })$表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。

舉例來說，Template:Nowrap的$(\mathrm{\Re })$為:

$1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}(\mathrm{\Re })$。

拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到$(\mathrm{\Re })$這個值。

又如Template:Nowrap的拉馬努金和$(\mathrm{\Re })$：

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}(\mathrm{\Re })$

延伸至正偶數冪，可得：

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0(\mathrm{\Re })$

而奇數冪的結果則與伯努利數有關：

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-\frac{B_{2k}}{2k}(\mathrm{\Re })$

目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)$允許唯一的拉馬努金求和結果。

如此拉馬努金求和的定義（標作${\sum }_{n\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(n)$）與早期拉馬努金求和C(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若R(x)趨近於一個有限值極限，當x → +1，則此級數${\sum }_{n\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(n)$是收斂的，而可得

$\sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(n)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\underset{1}{\overset{N}{\int }}f(t)dt]$。

特別是如下例子：

$\sum _{n\ge 1}^{\mathrm{\Re }}\frac{1}{n}=\gamma$

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。

拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出

$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{m-s}dx=\frac{m-s}{2}\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^a{i}^{m-s}+a^{m-s}\\ -\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2r}\mathrm{\Gamma }(m-s+1)}{(2r)!\mathrm{\Gamma }(m-2r+2-s)}(m-2r+1-s)\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{m-2r-s}dx\end{array}$，

此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。

迭代方程式為有限的，因為當$m-2r<-1$，

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^{m-2r}=-\frac{a^{m-2r+1}}{m-2r+1}$；

其中

$I(n,\mathrm{\Lambda })=\underset{0}{\overset{\mathrm{\Lambda }}{\int }}dx{x}^n$（參見：Template:Le。）

要是$\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。

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