博雷爾求和

在數學上，博雷爾求和（Template:Lang-en）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由Template:Harvs提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。

定義

博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設A(z)是z的一個形式冪級數

$A(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$，

則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數

$ℬA(t)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{k!}{t}^k$。

博雷爾指數求和

設A_n(z)為下列部分和：

$A_n(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k$。

博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{A}_n(z)$。

若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z)，則稱A的弱博雷爾和收斂於z，並記為$\sum a_k{z}^k=a(z)(𝒘𝑩)$.

博雷爾積分求和

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則A的博雷爾和定義為

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}ℬA(tz)dt.$

若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z)，則稱A的博雷爾和在z收斂，並記為 $\sum a_k{z}^k=a(z)(𝑩)$。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t都收斂，只需在0附近收斂為t的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

基本性質

正定性

(B)和(wB)兩者都是正定的求和法，意味着若A(z)收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k=A(z)<\mathrm{\infty }\Rightarrow \sum a_k{z}^k=A(z)(𝑩,𝒘𝑩)$。

(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收斂，則

$A(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^k\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{k}dt\right)\frac{z^k}{k!}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\frac{(tz{)}^k}{k!}dt$，

其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

博雷爾和與弱博雷爾和的等價性

對任意的級數A(z)，若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的，則必定是博雷爾可求和的。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

定理 Template:Harv

設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C，則：

1. 若$\sum a_k{z}^k=a(z)(𝒘𝑩)$，則$\sum a_k{z}^k=a(z),(𝑩)$。
2. 若$\sum a_k{z}^k=a(z)(𝑩)$，且$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-t}ℬA(zt)=0$，則$\sum a_k{z}^k=a(z)(𝒘𝑩)$。

與其他求和法的關聯

• (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
• (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式，其中$q\to \mathrm{\infty }$。

例子

幾何級數

考慮幾何級數

$y(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k$

當 |z| < 1時，收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為

$ℬy(t)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{t}^k=e^t$

因此，上述級數的博雷爾和為

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}ℬy(tz)dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{e}^{tz}dt=\frac{1}{1-z}$

然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z) <  1 內收斂到 1/(1 − z)，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為A_N(z) = (1-z^N+1)/(1-z)，因此其弱博雷爾和為

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\frac{t^n}{n!}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^{-t}}{1-z}(e^t-z{e}^{tz})=\frac{1}{1-z}$，

同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(z) < 1，

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-t}(ℬA)(zt)=e^{t(z-1)}=0$。

一個交替級數

級數

$y(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k!{(-1\cdot z)}^k$

對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為

$ℬy(t)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1\cdot t)}^k=\frac{1}{1+t}$

對任意的|t| < 1 都成立，且於  t ≥ 0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}ℬy(tz)dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{1+tz}dt=\frac{1}{z}\cdot e^{\frac{1}{z}}\cdot \mathrm{\Gamma }(0,\frac{1}{z})$

（其中Γ是指不完全Γ函數）

這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。

不滿足等價性的例子

以下是Template:Harv所給出的例子的一個擴展。考慮

$A(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^l(2l+2{)}^k}{(2l+1)!}\right)z^k.$

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

$\begin{array}{cc}ℬA(t)& =\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((2l+2)t{)}^k}{k!}\right)\frac{(-1{)}^l}{(2l+1)!}\\ & =\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{(2l+2)t}\frac{(-1{)}^l}{(2l+1)!}\\ & =e^t\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(e^t{)}^{2l+1}\frac{(-1{)}^l}{(2l+1)!}\\ & =e^t\sin \left(e^t\right).\end{array}$

在 z = 2 處，可求得博雷爾和為

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^t\sin (e^{2t})dt=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (u^2)du=\frac{\sqrt{\pi }}{8}-S(1)<\mathrm{\infty },$

其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0$

僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

相關條目

• 發散級數
• 切薩羅求和
• 拉馬努金求和

參考文獻

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