拉馬努金和

Template:NoteTA Template:Distinguish 在數學的分支領域數論中，拉馬努金和（Template:Lang-en）常標示為$c_q(n)$，為一個帶有兩正整數變數$q$以及$n$的函數，其定義如下：

$c_q(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{a=1}{(a,q)=1}}^q{e}^{2\pi i\frac{a}{q}n},$

其中$(a,q)=1$表示$a$只能是與$q$互質的數。

斯里尼瓦瑟·拉馬努金於1918年的一篇論文中引入這項和的觀念。拉馬努金和也用在Template:Le的證明，此定理指出：任何足夠大的奇數可為三個質數的和。

本文符號彙整

若整數a與b，有關係$a\mid b$（唸作「a整除b」），表示存在一個整數c使得b = ac；相似地，$a\nmid b$表示「a無法整除b」。

求和符號

$\sum _{d\mid m}f(d)$

表示d只採用其正整數因數m，亦即

$\sum _{d\mid 12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)$。

另外用到的有：

• $(a,b)$為最大公因數，
• $\varphi (n)$為歐拉總計函數，
• $\mu (n)$為莫比烏斯函數，以及
• $\zeta (s)$為黎曼ζ函數。

c_q(n)的數學式

三角函數

下面的式子源自於定義、歐拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$以及基本三角函數恆等式：

$\begin{array}{cc}{c}_1(n)& =1\\ c_2(n)& =\cos n\pi \\ c_3(n)& =2\cos \frac{2}{3}n\pi \\ c_4(n)& =2\cos \frac{1}{2}n\pi \\ c_5(n)& =2\cos \frac{2}{5}n\pi +2\cos \frac{4}{5}n\pi \\ c_6(n)& =2\cos \frac{1}{3}n\pi \\ c_7(n)& =2\cos \frac{2}{7}n\pi +2\cos \frac{4}{7}n\pi +2\cos \frac{6}{7}n\pi \\ c_8(n)& =2\cos \frac{1}{4}n\pi +2\cos \frac{3}{4}n\pi \\ c_9(n)& =2\cos \frac{2}{9}n\pi +2\cos \frac{4}{9}n\pi +2\cos \frac{8}{9}n\pi \\ c_{10}(n)& =2\cos \frac{1}{5}n\pi +2\cos \frac{3}{5}n\pi \\ \end{array}$

等等（Template:OEIS2C, Template:OEIS2C, Template:OEIS2C, Template:OEIS2C,.., Template:OEIS2C, ...）。這些式子顯示出c_q(n)為實數。

參考文獻

書目

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• Template:Citation (pp. 179–199 of his Collected Papers)

• Template:Citation (pp. 136–163 of his Collected Papers)

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