1 + 2 + 3 + 4 + …

橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯，縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線，其與縱軸相交的截距值為−¹⁄₁₂

無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和，是一个发散级数，其數學式也寫作 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n$

此級數前 n 项的部分和即是三角形數：

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透過Template:Le與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 $-\frac{1}{12}$，表示為：

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$

此結果在复分析、量子力学及弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明

前六個三角形數

海什木（Alhazen）的正整數和公式推導

自然数從 1 加到 n 的和是 $\frac{n(n+1)}{2}$ 能用许多方法证明。首先令

$S_n=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.$

我们将这些项重排反着写：

$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.$

将两者相加，对应项相加，我们得到

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)}},$

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)}},$

$2S_n=n\cdot (n+1),$

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

ζ函数的求和与解析连续性

当 s 的实部大于 1，s 次方的黎曼ζ函数等于求和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散，但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 $-\frac{1}{12}$。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉马努金另外給其定義，其拉马努金求和的结果為 $-\frac{1}{12}$。

物理

在玻色弦理論中，我们想算出一个弦的可能的能量级，特别是最低能量级。非正式地说，每一个弦的谐波可以视为一组 $D$ 无关量子谐振子，这里 $D$ 是时空的维数。如果基本振子频率是 $\omega$ 则一个振子对 $n$ 级谐波的贡献是 $\frac{n\hslash \omega }{2}$。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 $-\frac{\hslash \omega (D-2)}{24}$。最后这确实是正确的，与Template:Le一起，导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力。

历史

在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：

“亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究Template:Le的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 $1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。」

引用

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延伸阅读

• Template:Cite journal
• Template:Cite book See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Template:Cite book See p. 293.

外部链接

• 数学物理每周发现（124周）Template:Wayback，（126周）Template:Wayback，（147周）Template:Wayback
• 欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂ 的证明
• 所有自然数的和等于负十二分之一视频Template:Wayback