柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（Template:Lang-en），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和Template:Link-en命名。

叙述

$V$ 是個複内积空间，則對所有的 $v,w\in V$ 有：

(a) $\Vert v\Vert \Vert w\Vert \ge |⟨v,w⟩|$

(b) $\Vert v\Vert \Vert w\Vert =|⟨v,w⟩|$ $\iff$ 存在 $\lambda \in ℂ$ 使 $v=\lambda \cdot w$

證明請見内积空间#范数。

特例

Rⁿ-n维欧几里得空间

對歐幾里得空間Rⁿ，有

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)$。

等式成立時：

$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots =\frac{x_n}{y_n}.$

也可以表示成

$(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2$

證明則須考慮一個關於$t$的一個一元二次方程式 $(x_{1}t+y_1{)}^2+\cdots +(x_{n}t+y_n{)}^2=0$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式$D\le 0$

注意到

$(x_{1}t+y_1{)}^2+\cdots +(x_{n}t+y_n{)}^2\ge 0$

⇒$(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)t^2+2(x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n)t+(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge 0$

則

$D=4(x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2-4(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\le 0$

即

$(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2$

$(x_{1}t+y_1{)}^2+\cdots +(x_{n}t+y_n{)}^2=0$

$(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2$

而等號成立於判別式$D=0$時

也就是此時方程式有重根，故

$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots =\frac{x_n}{y_n}.$

• 對平方可積的複值函數，有

${|\int f(x)g(x)dx|}^2\le \int {|f(x)|}^{2}dx\cdot \int {|g(x)|}^{2}dx$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恒等式

$⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩=|⟨x,y⟩{|}^2+|x\times y{|}^2$。

这是

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)-(\sum _{1\le i<j\le n}(x_i{y}_j-x_j{y}_i{)}^2)$

在n=3 时的特殊情况。

L²

对于平方可积复值函数的内积空间，有如下不等式：

$${|\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)\overline{g(x)}dx|}^2\le \underset{{ℝ}^n}{\int }|f(x){|}^{2}dx\underset{{ℝ}^n}{\int }|g(x){|}^{2}dx.$$

赫尔德不等式是该式的推广。

矩阵不等式

设$x,y$为列向量，则$|x^{*}y{|}^2\le x^{*}x\cdot y^{*}y$Template:Efn

$x=0$ 時不等式成立，设$x$非零，$z=y-\frac{y^{*}x}{\Vert x{\Vert }^2}x$，则$x^{*}z=0$

$0\le \Vert z{\Vert }^2=z^{*}y=\Vert y{\Vert }^2-\frac{x^{*}y}{\Vert x{\Vert }^2}{x}^{*}y=\Vert y{\Vert }^2-\frac{|x^{*}y{|}^2}{\Vert x{\Vert }^2}$

$|x^{*}y{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$

等号成立$\iff z=0\iff y$与$x$线性相关

设$A$为$n\times n$Hermite阵，且$A\ge 0$，则$|x^{*}Ay{|}^2\le x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

存在$A^{1/2}$，设$u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y$

$|u^{*}v{|}^2\le u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}{A}^{1/2}{A}^{1/2}y{|}^2\le x^{*}{A}^{1/2}{A}^{1/2}x\cdot y^{*}{A}^{1/2}{A}^{1/2}y$

$|x^{*}Ay{|}^2\le x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay$

等号成立$\iff y$与$x$线性相关

设$A$为$n\times n$Hermite阵，且$A>0$，则$|x^{*}y{|}^2\le x^{*}Ax\cdot y^{*}{A}^{-1}y$

存在$A^{1/2},A^{-1/2}$，设$u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y$

$|u^{*}v{|}^2\le u^{*}u\cdot v^{*}v$

$|x^{*}{A}^{1/2}{A}^{-1/2}y{|}^2\le x^{*}{A}^{1/2}{A}^{1/2}x\cdot y^{*}{A}^{-1/2}{A}^{-1/2}y$

$|x^{*}y{|}^2\le x^{*}Ax\cdot y^{*}{A}^{-1}y$

等号成立$\iff x$与$A^{-1}y$线性相关

若$q_i\ge 0,\sum _i{q}_i=1$，则$(x^{*}{A}^{\sum _i{a}_i{q}_i}x)\le \prod _i(x^{*}{A}^{a_i}x{)}^{q_i}$

复变函数中的柯西不等式

设 $f(z)$在区域$D$及其边界上解析，$a$ 为$D$内一点，以$a$为圆心做圆周 $C_R:|z-a|=R$，只要$C_R$及其内部$G$均被$D$包含，则有：

$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!M}{R^n}(n=1,2,3,...)$

其中，M是$|f(z)|$的最大值，$M=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{|x-a|\in R}|f(x)|$ 。

其它推广

$\sqrt{\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^m{a}_{ij}{)}^2}\le \sum _{j=1}^m\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^2}$

$m\ge \alpha >0,(\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^m{a}_{ij}{)}^{\alpha }\le \prod _{j=1}^m\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^{\alpha }$

參見

• 三角不等式
• 內積空間