古埃及分數

古埃及的分數是不同的單位分數的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。

構造

古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個算法總是給出最短的形式。

貪婪演算法

Template:Main 贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。 例如：

$\frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$。共2项，是第一种好算法，比$\frac{2}{7}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}$的项数要少。

又例如， $\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}$比 $\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{759}+\frac{1}{208725}$ 的最大分母要小，所以是第二种好算法。

1. 找出僅小於$r=\frac{a}{b}$的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是：即用$b$除以$a$，捨去餘數，再加1。（如果沒有餘數，則$r$已是單位分數。）
2. 把$r$減去單位分數，以這個新的、更小的$r$重複步驟1。

例子：把$\frac{19}{20}$轉成單位分數。

• $\lfloor 20÷19\rfloor =1$，所以第1個單位分數是$\frac{1}{2}$；
• $\frac{19}{20}-\frac{1}{2}=\frac{9}{20}$；
• $\lfloor 20÷9\rfloor =2$，所以第2個單位分數是$\frac{1}{3}$；
• $\frac{9}{20}-\frac{1}{3}=\frac{7}{60}$；
• $\lfloor 60÷7\rfloor =8$，所以第3個單位分數是$\frac{1}{9}$；
• $\frac{7}{60}-\frac{1}{9}=\frac{1}{180}$已是單位分數。

所以結果是：

$\frac{19}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{180}$。

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。

Golomb算法

這個算法是基於貝祖等式的：當$a$,$b$互質，$ax-by=1$有無窮多對正整數解$(x,y)$。

選取最小的正整數解$(m,n)$。取單位分數分母為$bm$，重複步驟。

以$\frac{7}{10}$為例：

• $7\times 3-10\times 2=1$ ，所以第1個單位分數是$\frac{1}{30}$；
• $2\times 2-3\times 1=1$，所以第2個單位分數是$\frac{1}{6}$；
• 第3個單位分數是$\frac{1}{2}$。

二進制

最基本的方法就是將分數寫成二進制數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數$n$使得$\frac{x}{y}>\frac{1}{2^n}$。

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數$n$使得$(2^n\times x)mody<2^{n+1}$。選取適當的正整數$r,s$（$r<y$）使得$2^n\times x=sy+r$。$\frac{x}{y}=\frac{s}{2^n}+\frac{r}{2^n\times y}$。將$\frac{s}{2^n},\frac{r}{2^n}$寫成二進制數。

例如： $\frac{18}{23}$：

• $(4\times 18)mod23<8$，$4\times 18=23\times 3+3$
• $\frac{18}{23}=\frac{3}{4}+\frac{3}{4\times 23}$
• $\frac{3}{4}=0.15=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$
• $\frac{18}{23}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\times 23}+\frac{1}{4\times 23}$

分拆

將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式：

1. 若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為$2k-1$，用$\frac{1}{k}+\frac{1}{(2k-1)k}$取代。
2. 設它們的分母為$p$，用$\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)p}$取代。

或是$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$←$n$可等於任意正整數

$\frac{1}{n}$表示成为一个级数形式：

$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+1{)}^3}+\frac{1}{(n+1{)}^4}+...+\frac{1}{(n+1{)}^k}+\frac{1}{n(n+1{)}^k}$

Engel展開式

• 參看Engel展開式。方法類同於貪心法

歷史

莱因德数学纸草书

數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段：

1. 文字代數：其問題以古代數學家所用的文字表述；
2. 省文代數：簡化問題中一些字詞，以幫助理解；
3. 符號代數：以符號代表運算符和運算元，使更容易理解。

未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知，埃及祭司和書記採用文字代數的方式，以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。

這是現存在倫敦的大英博物館的萊因德數學紙草書（第二中間期）所載，其中一個阿哈問題的翻譯：

「問題24： 一個數量和它的$\frac{1}{7}$加起來是19。這數量是什麼？」

「假設是7。7和7的$\frac{1}{7}$是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」

以現在的符號形式，$x+\frac{x}{7}=\frac{8x}{7}=19$，故此$x=\frac{133}{8}$。檢查： $\frac{133}{8}+\frac{133}{7\times 8}=\frac{133}{8}+\frac{19}{8}=\frac{152}{8}=19$。

注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算，如$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{10}$。

一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號，這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。

参见

• 丢番图方程
• 单位分数
• 歐德斯-史特勞斯猜想