正則變換

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。

在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。

定義

點變換（Template:Lang）將廣義坐標$𝐪=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$變換成廣義坐標$𝐐=(Q_1,Q_2,\dots ,Q_N)$，點變換方程式的形式為

$q_i=q_i(Q_1,Q_2,\dots ,Q_N,t),i=1,2,3,\dots ,N$；

其中，$t$是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量$𝐩=(p_1,p_2,\dots ,p_N)$同樣地都是自變量（Template:Lang），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為

$q_i=q_i(Q_1,Q_2,\dots ,Q_N,P_1,P_2,\dots ,P_N,t),i=1,2,3,\dots ,N$，

$p_i=p_i(Q_1,Q_2,\dots ,Q_N,P_1,P_2,\dots ,P_N,t),i=1,2,3,\dots ,N$；

其中，$𝐏=(P_1,P_2,\dots ,P_N)$是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標$(𝐪,𝐩)$變換為一組新的正則坐標$(𝐐,𝐏)$，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為

$\dot{𝐪}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐩}$，

$\dot{𝐩}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐪}$；

新的哈密頓方程式為

$\dot{𝐐}=\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐏}$，

$\dot{𝐏}=-\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐐}$；

其中，$\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$、$𝒦(𝐐,𝐏,t)$分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處

思考一個物理系統的哈密頓量

$\mathscr{H}=\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$。

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標$q_i$無關，則稱$q_i$為可略坐標（Template:Lang），或循環坐標（Template:Lang）：

$\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}=0$。

在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}=0$。

所以，廣義動量$p_i$是常數$k_i$。

假設一個系統裏有$n$個廣義坐標是可略坐標。找出這$n$個可略坐標，則可以使這系統減少$2n$個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法

主項目：正則變換生成函數

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從$(𝐪,𝐩,\mathscr{H})$變換到$(𝐐,𝐏,𝒦)$。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)]dt=0$、

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦(𝐐,𝐏,t)]dt=0$。

那麼，必須令

$\sigma [𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)]=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦(𝐐,𝐏,t)+\frac{dG}{dt}$；

其中，$\sigma$是標度因子，$G$是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（Template:Lang）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（Template:Lang）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個$\sigma \ne 1$的延伸正則變換表示為

$\sigma [𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}]={𝐏}^{\prime }\cdot {\dot{𝐐}}^{\prime }-𝒦{}^{\prime }+\frac{dG{}^{\prime }}{dt}$。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量： $𝐐=\alpha {𝐐}^{\prime }$、 $𝐏=\beta {𝐏}^{\prime }$、 $𝒦=\alpha \beta 𝒦{}^{\prime }$、 $G=\alpha \beta G{}^{\prime }$；其中，$\alpha ,\beta$是用來刪除$\sigma$的常數，$\sigma =\frac{1}{\alpha \beta }$。經過一番運算，可以得到

$\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐏}=\alpha \frac{\partial 𝒦{}^{\prime }}{\partial {𝐏}^{\prime }}=\alpha {\dot{𝐐}}^{\prime }=\dot{𝐐}$、

$\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐐}=\beta \frac{\partial 𝒦{}^{\prime }}{\partial {𝐐}^{\prime }}=-\beta {\dot{𝐏}}^{\prime }=-\dot{𝐏}$、

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}=\alpha \beta ({𝐏}^{\prime }\cdot {\dot{𝐐}}^{\prime }-𝒦{}^{\prime }+\frac{dG{}^{\prime }}{dt})=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦+\frac{dG}{dt}$。（1）

顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（Template:Lang）。

生成函數$G$的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$保證是正則變換。

第一型生成函數

第一型生成函數$G_1$只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

$G=G_1(𝐪,𝐐,t)$。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_1}{\partial t}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}\cdot \dot{𝐪}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}\cdot \dot{𝐐}$。

新廣義坐標$𝐐$和舊廣義坐標$𝐪$都是自變量，其對於時間的全導數$\dot{𝐐}$和$\dot{𝐪}$互相無關，所以，以下$2N+1$個方程式都必須成立：

$𝐩=\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}$，（2）

$𝐏=-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}$，（3）

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}$。（4）

這$2N+1$個方程式設定了變換$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$，步驟如下：

第一組的$N$個方程式（2），設定了$𝐩$的$N$個函數方程式

$𝐩=𝐩(𝐪,𝐐,t)$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出$𝐐$的$N$個函數方程式

$𝐐=𝐐(𝐪,𝐩,t)$。（5）

第二組的$N$個方程式（3），設定了$𝐏$的$N$個函數方程式

$𝐏=𝐏(𝐪,𝐐,t)$。

代入函數方程式（5），可以算出$𝐏$的$N$個函數方程式

$𝐏=𝐏(𝐪,𝐩,t)$。（6）

從$2N$個函數方程式（5）、（6），可以逆算出$2N$個函數方程式

$𝐪=𝐪(𝐐,𝐏,t)$，

$𝐩=𝐩(𝐐,𝐏,t)$。

代入新哈密頓量$𝒦$的方程式（4），可以得到

$𝒦=𝒦(𝐐,𝐏,t)$。

第二型生成函數

第二型生成函數$G_2$的參數是舊廣義坐標$𝐪$、新廣義動量$𝐏$ 與時間：

$G=-𝐐\cdot 𝐏+G_2(𝐪,𝐏,t)$；

以下$2N+1$方程式設定了變換$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$：

$𝐩=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}$，　

$𝐐=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}$，

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}$。

第三型生成函數

第三型生成函數$G_3$ 的參數是舊廣義動量$𝐩$、新廣義坐標$𝐐$與時間：

$G=𝐪\cdot 𝐩+G_3(𝐩,𝐐,t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$：

$𝐪=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐩}$，

$𝐏=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐐}$，

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_3}{\partial t}$。

第四型生成函數

第四型生成函數$G_4(𝐩,𝐏,t)$的參數是舊廣義動量$𝐩$、新廣義動量$𝐏$與時間：

$G=𝐪\cdot 𝐩-𝐐\cdot 𝐏+G_4(𝐩,𝐏,t)$。

以下$2N+1$方程式設定了變換$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$：

$𝐪=-\frac{\partial G_4}{\partial 𝐩}$，

$𝐐=\frac{\partial G_4}{\partial 𝐏}$，

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_4}{\partial t}$。

實例1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

$G_1=𝐪\cdot 𝐐$。

生成函數的導數分別為

$𝐩=\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}=𝐐$，

$𝐏=-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}=-𝐪$。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

$𝒦(𝐐,𝐏,t)=\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$。

實例2

再擧一個比較複雜的例子。讓

$G_2\equiv 𝐠(𝐪;t)\cdot 𝐏$；

這裏，$𝐠$是一組$N$個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

$𝐐=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}=𝐠(𝐪;t)$。

不變量

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。

辛條件

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個$2N\times 1$的豎矩陣$\mathit{\xi }$ :

${\mathit{\xi }}^T=[q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N,p_1,p_2,p_3,\dots ,p_N]$。

變數向量$\mathit{\xi }$將$𝐪$與$𝐩$包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

$\dot{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathit{\xi }}$；

這裏，$\mathrm{\Omega }$是辛連結矩陣、$\mathscr{H}$是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標$\mathit{\xi }$改變成新正則坐標$\mathrm{\Xi }$，$\mathit{\xi }\to \mathrm{\Xi }$；哈密頓量也從舊的哈密頓量$\mathscr{H}$改變成新的哈密頓量$𝒦$，$\mathscr{H}\to 𝒦$；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

$\dot{\mathrm{\Xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial 𝒦}{\partial \mathrm{\Xi }}$；

這裏，$𝒦=\mathscr{H}+\frac{dG}{dt}+𝐏\dot{𝐐}-𝐩\dot{𝐪}$。

用第一型生成函數$G=G_1(𝐪,𝐐,t)$，則$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}$。

取$\mathrm{\Xi }=\mathrm{\Xi }(\mathit{\xi },t)$關於時間$t$的導數，

$\dot{\mathrm{\Xi }}=𝐌\dot{\mathit{\xi }}+\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial t}$；

這裏，$𝐌$是亞可比矩陣，$M_{ij}=\frac{\partial {\mathrm{\Xi }}_i}{\partial {\xi }_j}$。

代入哈密頓方程式，

$𝐌\dot{\mathit{\xi }}+\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial t}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial 𝒦}{\partial \mathrm{\Xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathrm{\Xi }}+\mathrm{\Omega }\frac{{\partial }^2{G}_1}{\partial \mathrm{\Xi }\partial t}$ ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

$𝐌\dot{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathrm{\Xi }}$。

而$\mathscr{H}=\mathscr{H}(\mathit{\xi })$，所以，

$\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathrm{\Xi }}=\frac{\partial \mathit{\xi }}{\partial \mathrm{\Xi }}\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathit{\xi }}=({𝐌}^{-1}{)}^T\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \mathit{\xi }}=-({𝐌}^{-1}{)}^T\mathrm{\Omega }\dot{\mathit{\xi }}$。

代回前一個方程式，取$\dot{\mathit{\xi }}$的係數，則可以得到

$𝐌=-\mathrm{\Omega }({𝐌}^{-1}{)}^T\mathrm{\Omega }$。

經過一番運算，

${𝐌}^T=-\mathrm{\Omega }{𝐌}^{-1}\mathrm{\Omega }$；

${𝐌}^T\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }{𝐌}^{-1}$；

可以求出辛條件：

${𝐌}^T\mathrm{\Omega }𝐌=\mathrm{\Omega }$。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量

在相空间裏，兩個函數$f(𝐪,𝐩),g(𝐪,𝐩)$關於正則坐標$𝐪,𝐩$的帕松括號定義為

$[f,g{]}_{(𝐪,𝐩)}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i})$。

用辛標記，

$[f,g{]}_{\mathit{\xi }}={\left(\frac{\partial f}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial g}{\partial \mathit{\xi }}$。

立刻，可以得到下述關係：

$[q_i,q_j{]}_{\mathit{\xi }}=[p_i,p_j{]}_{\mathit{\xi }}=0$，

$[q_i,p_j{]}_{\mathit{\xi }}=-[p_i,q_j{]}_{\mathit{\xi }}={\delta }_{ij}$。

定義基本帕松括號$[\mathit{\xi },\mathit{\xi }]$為一個方矩陣，其中，元素$ij$的值是$[{\xi }_i,{\xi }_j]$。那麼，

$[\mathit{\xi },\mathit{\xi }{]}_{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }$。

思考一個變換$\mathit{\xi }\to \mathrm{\Xi }$。新坐標的基本帕松括號為

$[\mathrm{\Xi },\mathrm{\Xi }{]}_{\mathit{\xi }}={\left(\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \mathit{\xi }}$。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣$M$是

$M=\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \mathit{\xi }}$。

代入前一個方程式，則

$[\mathrm{\Xi },\mathrm{\Xi }{]}_{\mathit{\xi }}={𝐌}^T\mathrm{\Omega }𝐌$。

假若這變換是正則變換，辛條件${𝐌}^T\mathrm{\Omega }𝐌=\mathrm{\Omega }$必須成立，

$[\mathrm{\Xi },\mathrm{\Xi }{]}_{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }$。

相反地，假若$[\mathrm{\Xi },\mathrm{\Xi }{]}_{\mathit{\xi }}=\mathrm{\Omega }$，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為$[\mathit{\xi },\mathit{\xi }]$，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量

思考兩個函数$f,g$對於正則坐標$\mathit{\xi }$的泊松括號

$\begin{array}{cc}[f,g{]}_{\mathit{\xi }}& ={\left(\frac{\partial f}{\partial \mathit{\xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial g}{\partial \mathit{\xi }}\\ & ={\left(\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \mathit{\xi }}\frac{\partial f}{\partial \mathrm{\Xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial \mathit{\xi }}\frac{\partial g}{\partial \mathrm{\Xi }}\\ & ={\left(\frac{\partial f}{\partial \mathrm{\Xi }}\right)}^T{M}^T\mathrm{\Omega }M\frac{\partial g}{\partial \mathrm{\Xi }}{}_{\circ }\\ \end{array}$

假若這變換是正則變換，辛條件${𝐌}^T\mathrm{\Omega }𝐌=\mathrm{\Omega }$必須成立，

$[f,g{]}_{\mathit{\xi }}={\left(\frac{\partial f}{\partial \mathrm{\Xi }}\right)}^T\mathrm{\Omega }\frac{\partial g}{\partial \mathrm{\Xi }}=[f,g{]}_{\mathrm{\Xi }}$。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為$[f,g]$，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱

• 正則變換列表
• 正則座標
• 帕松括號
• 辛矩陣
• 辛拓撲
• 辛群

參考文獻

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).