抛物面

抛物面(英文：Paraboloid)是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} .

双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} .

性质

当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

椭圆抛物面的参数方程为：

\vec{σ} (u, v) = (u, v, \frac{u^{2}}{a^{2}} + \frac{v^{2}}{b^{2}})

K (u, v) = \frac{4}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{2}}

H (u, v) = \frac{a^{2} + b^{2} + \frac{4 u^{2}}{a^{2}} + \frac{4 v^{2}}{b^{2}}}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{\frac{3}{2}}}

它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。

双曲抛物面的参数方程为：

\vec{σ} (u, v) = (u, v, \frac{u^{2}}{a^{2}} - \frac{v^{2}}{b^{2}})

高斯曲率为：

K (u, v) = \frac{- 4}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{2}}

H (u, v) = \frac{- a^{2} + b^{2} - \frac{4 u^{2}}{a^{2}} + \frac{4 v^{2}}{b^{2}}}{a^{2} b^{2} {(1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}} + \frac{4 v^{2}}{b^{4}})}^{\frac{3}{2}}} .

如果把双曲抛物面

z = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}

顺着+z的方向旋转π/4的角度，则方程为：

z = \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) + x y (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})

如果 $a = b$ ，则简化为：

z = \frac{2}{a^{2}} x y

.

最后，设 $a = \sqrt{2}$ ，我们可以看到双曲抛物面

z = \frac{x^{2} - y^{2}}{2}

.

与以下的曲面是全等的：

z = x y

因此它可以视为乘法表的几何表示。

两个 $ℝ^{2} \to ℝ$ 函数

z_{1} (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{2}

和

z_{2} (x, y) = x y

是调和共轭，它们在一起形成解析函数

f (z) = \frac{1}{2} z^{2} = f (x + i y) = z_{1} (x, y) + i z_{2} (x, y)

它是 $ℝ \to ℝ$ 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 的解析延拓。

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.