韦达定理

Template:NoteTA 在數學上，韦达定理（Template:Lang-en），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。

韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。

内容

设 $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 $a_{n} \neq 0$ ，令 P 的 n 個根為 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则根 ${x_{i}}$ 和係數 ${a_{j}}$ 之間滿足關係式

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{matrix}

等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比 $\frac{a_{n - k}}{a_{n}}$ 是所有任取 k 個根的乘積的和的 $(- 1)^{k}$ 倍，即

\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \dots x_{i_{k}} = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

或：

\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} (\prod_{j = 1}^{k} x_{i_{j}}) = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

其中 $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k}$ 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。

证明

因為 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是一元 n 次多項式 $M (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 的 n 个根。於是有

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})

根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

{\begin{matrix} a_{n - 1} = - a_{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n}) \\ a_{n - 2} = a_{n} ((x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n}) \\ ⋮ \\ a_{0} = (- 1)^{n} a_{n} x_{1} x_{2} \dots x_{n} \end{matrix}

上式等同於韋達定理的敘述。

特例

n=2

设 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次多項式 $a x^{2} + b x + c$ 的两根，則由 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}$ 有

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ， $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ 證明：

x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} + (- b) - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = - \frac{b}{a}

x_{1} x_{2} = \frac{(- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}) (- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{{(2 a)}^{2}} = \frac{c}{a}

在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 $a x^{2} + b x + c$ ，如果有两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，滿足 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ 和 $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，則 $x_{1}, x_{2}$ 就是多項式 $a x^{2} + b x + c$ 的兩根。

n=3

设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是一元三次多項式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的三根，則

x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}, x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

推廣至環

韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 $\frac{a_{i}}{a_{n}}$ 在 R 中不見得有定義，除非 $a_{n}$ 本身是可逆元。但 $\frac{a_{i}}{a_{n}}$ 在 R 的分式環 K 中有定義，而根 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 則在 K 的代數閉包 $\bar{K}$ 中有定義。特別的，如果 R 是整數環 $ℤ$ ，則 K 是有理數體 $ℚ$ ， $\bar{K}$ 是複數體 $ℂ$ 。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一， $a_{n}$ 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 $a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$ 。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 $ℤ / 8 ℤ$ 中，多項式 $P (x) = x^{2} - 1$ 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ ，會發現 $P (x) \neq (x - 1) (x - 3)$ ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 $P (x) = (x - 1) (x - 7)$ 和 $P (x) = (x - 3) (x - 5)$ 。

歷史

在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Template:Tsl 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家Template:Tsl的話寫道^[1]

...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。

參考資料

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参见

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[1] Template:Harv

[1]

韦达定理

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内容

证明

特例

n=2

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