Σ-有限测度

Template:NoteTA Template:Lowercaseσ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 $(X, Σ, μ)$ 來說，若测度 $μ$ 其對任意 $A \in Σ$ 的取值 $μ (A)$ 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。

若測度空間的母集合 $X$ 可表示为 $Σ$ 的某有限可測集合序列 ${E_{n} \in Σ}_{n \in ℕ}$ 的并集：

X = ⋃_{n \in ℕ} E_{n}

則么就称这个测度为Template:Mvar有限测度Template:R。進一步的，如果 $X$ 的某个子集能够表示为 $Σ$ 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。

例子

勒贝格测度：实数集 $ℝ$ 上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集 $ℝ$ 的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是Template:Mvar有限测度，因为 $ℝ$ 可以表示为所有形如 $[- n, n]$ 的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于 $2 n$ ）：
$ℝ = ⋃_{n = 1}^{\infty} [- n, n] .$ Template:R
计数测度：实数集 $ℝ$ 上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大Template:R。这个测度不是Template:Mvar有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集Template:R。不过，自然数集 $ℕ$ 上的计数测度就是Template:Mvar有限测度Template:R，因为全集 $ℕ$ 可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：
$ℕ = ⋃_{n = 1}^{\infty} {n} .$
局部紧群：设 $G$ 是一个局部紧的拓扑群，并且是[[Σ-紧致|Template:Mvar紧致]]的，那么群 $G$ 上的哈尔测度是Template:Mvar有限测度Template:R。

性质

Template:Mvar有限测度中，全集可以表示为 $𝒜$ 中的可数个有限测度子集的并集： $Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}$ ，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

\forall n \in ℕ, C_{n} = ⋃_{k = 1}^{n} B_{k} \in 𝒜,

那么 $\forall n \in ℕ, μ (C_{n}) ⩽ \sum_{k = 1}^{n} μ (B_{k})$ ，也就是说 ${(C_{n})}_{n \in ℕ}$ 也是一系列有限测度的子集，并且 $C_{1} \subset C_{2} \subset \dots \subset C_{n} \subset C_{n + 1} \subset \dots$ ，所以 $μ (C_{1}) ⩽ μ (C_{2}) ⩽ \dots ⩽ μ (C_{n}) ⩽ μ (C_{n + 1}) ⩽ \dots$ 。随着下标增大， $C_{n}$ 的测度越来越大，趋向正无穷大，并且 $Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} C_{n}$ 。这称为全集的升序表示。而如果令：

C_{0} = \emptyset, \forall n \in ℕ, D_{n} = C_{n} ∖ C_{n - 1} \in 𝒜,

，

那么 ${(D_{n})}_{n \in ℕ}$ 也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且 $Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} D_{n}$ 。 ${(D_{n})}_{n \in ℕ}$ 被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

半有限和一致Template:Mvar有限

与Template:Mvar有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致Template:Mvar有限测度。一致Template:Mvar有限测度是一类特殊的Template:Mvar有限测度。它不仅要求全集 $Ω$ 能够表示为 $𝒜$ 中的可数个有限测度子集的并集： $Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}$ ，而且要求存在一个正实数 $m$ ，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于 $m$ 。

Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}, B_{n} \in 𝒜, | μ (B_{n}) | < m,

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致Template:Mvar有限测度。但并非所有的Template:Mvar有限测度都是一致Template:Mvar有限测度。比如说自然数集上如下定义的Template:Mvar有限测度 $μ_{c}$ ：

\forall E \in ℕ, μ_{c} (E) = \sum_{k \in E} k

就不是一致Template:Mvar有限测度Template:R。

半有限测度则是比Template:Mvar有限测度更宽泛的一种定义。如果 $(Ω, 𝒜)$ 上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的Template:Mvar有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是Template:Mvar有限测度Template:R。

与概率测度的等价性

给定 $(Ω, 𝒜)$ ，其上的任何Template:Mvar有限测度 $μ$ 都等价于一个 $(Ω, 𝒜)$ 的概率测度。具体的构造方法是：令 ${(B_{n})}_{n \in ℕ}$ 为全集 $Ω$ 的一个不交覆盖（划分），并且每个 $B_{n}$ 在 $μ$ 下的测度都是有限的；再令 ${(ω_{n})}_{n \in ℕ}$ 为一个由正实数构成的数列，并且级数和

\sum_{n = 1}^{\infty} w_{n} = 1 .

那么以下方式定义的测度 $ν$ ：

\forall A \in 𝒜, ν (A) = \sum_{n = 1}^{\infty} w_{n} \frac{μ (A \cap B_{n})}{μ (B_{n})}

就是一个与 $μ$ 等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。

参见

参考资料

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Σ-有限测度

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性质

半有限和一致Template:Mvar有限

与概率测度的等价性

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