测度空间

Template:NoteTA 测度空间是测度论的基本概念，可以看做是面積概念的推廣，由一个基本的集合 $X$ 以及基于这集合的某些子集合所构成的一個新的集合 $𝒜$，這新集合會滿足 σ-代数的性質，直覺的講，對 $𝒜$ 中的元素我們都可以用某種方法去「測量」其大小、面積或機率等，其真正意義要看所在空間 $X$ 來決定。和一個定義在 $𝒜$ 上滿足某些特別性質的(非負)函數 $\mu$，也就是测度，測度空間就由這三部分，$(X,𝒜,\mu )$，所構成。测度空间的一个实例是概率空間。

可測度空間(measurable space)包含前兩部分但不含測度。

定义

一个测度空间包含三部分資訊 $(X,𝒜,\mu )$，且滿足下列條件：

• $X$ 为非空集合
• $𝒜$ 为 $X$ 上的一个 σ-代数，也就是满足某些条件的 $X$ 中的一些子集构成的集合。
• $\mu$ 为 $(X,𝒜)$ 上的测度，換句話講，是一个定義在 $𝒜$ 上的有特別性質的(非負)函数。

例子

对集合

$X=\{0,1\},$

取

$𝒜=\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.$

定义

$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})=\frac{1}{2},$

则根据测度的可数可加性，$\mu (\{0,1\})=1.$ 另根据测度的定义，$\mu (\mathrm{\varnothing })=0.$ 则$(X,𝒜,\mu )$为一个测度空间。

本例中的测度对应于$p=\frac{1}{2}$的伯努利分布。

参见

• 冪集
• 可测空间